本条目中，矢量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如，位置矢量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
四维速度 （英语：Four-velocity ）是指物理学 中，特别是狭义相对论 和广义相对论 中，一个物体的四维速度 是取代经典意义上的速度 （三维矢量 ）的四维矢量（四维时空 中的矢量）。选取四维速度的原因是四维速度在洛伦兹变换 下是协变 的，而三维速度不是；换句话说，这么选取可以使光速 在任意惯性系 下保持不变。
相对论理论中一个事件是在四维时空内的坐标描述的，一个物体在时空中运动产生的轨迹曲线是通过固有时 这个参数实现参数化的，而这条曲线称作世界线 。四维速度是一维时间与三维空间坐标对固有时的改变率所构成的矢量，同时也是世界线的切向矢量 。
作为比较，在经典力学中事件是通过它们在每一时刻上在三维空间中的坐标描述的，它们在三维空间中的轨迹是通过时间这个参数实现参数化的。经典速度是三维空间坐标对时间的改变率所构成的矢量，同时也是轨迹的切向矢量。
在狭义相对论的框架中，四维速度的大小（模）总是和光速的大小相等。
在经典力学中一个物体在三维空间中的运动路径由其在三维空间中的坐标函数
x
i
(
t
)
,
i
∈
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}}
t
{\displaystyle t\,}
x
=
x
i
(
t
)
=
[
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
x
3
(
t
)
]
{\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
其中
x
i
(
t
)
{\displaystyle x^{i}(t)}
t
{\displaystyle t\,}
在任意一点
p
{\displaystyle p\,}
u
{\displaystyle {\mathbf {u} }}
u
≡
d
x
d
t
{\displaystyle {\mathbf {u} }\equiv {\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}}
因此其分量为
u
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
d
x
i
d
t
=
(
d
x
1
d
t
,
d
x
2
d
t
,
d
x
3
d
t
)
{\displaystyle {\mathbf {u} }=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}
这里的导数都是在
p
{\displaystyle p\,}
d
x
a
{\displaystyle \mathrm {d} x^{a}}
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t}
在爱因斯坦 的相对论 中，一个物体对某个特定参考系的运动轨迹是由四维坐标函数
x
μ
(
τ
)
,
μ
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}}
x
0
{\displaystyle x^{0}}
τ
{\displaystyle \tau }
X
=
x
μ
(
τ
)
=
[
x
0
(
τ
)
x
1
(
τ
)
x
2
(
τ
)
x
3
(
τ
)
]
=
[
c
t
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
x
3
(
t
)
]
{\displaystyle \mathbf {X} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
从时间膨胀 中我们得知
t
=
γ
τ
{\displaystyle t=\gamma \tau \,}
其中
γ
{\displaystyle \gamma }
洛伦兹因子 ，定义为
γ
=
1
1
−
u
2
c
2
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}
而
u
{\displaystyle u\,}
欧几里德模 ：
u
=
|
|
u
|
|
=
(
u
1
)
2
+
(
u
2
)
2
+
(
u
3
)
2
{\displaystyle u=||\mathbf {u} ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}}
一个四维速度是对应世界线的四维切向矢量，四维速度的世界线
X
(
τ
)
{\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}
U
=
d
X
d
τ
{\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {X} }{\mathrm {d} \tau }}}
其中
τ
{\displaystyle \tau \,}
由于光速在任意惯性系下保持不变，无法找到光子静止的惯性系，因此，对于光子而言，
d
τ
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} \tau =0}
[ 1] :49
时间
t
{\displaystyle t\,}
x
0
{\displaystyle x^{0}}
x
0
=
c
t
=
c
γ
τ
{\displaystyle x^{0}=ct=c\gamma \tau \,}
x
0
{\displaystyle x^{0}}
τ
{\displaystyle \tau \,}
U
μ
{\displaystyle U^{\mu }\,}
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0\,}
U
0
=
d
x
0
d
τ
=
c
γ
{\displaystyle U^{0}={\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma }
至于空间分量方面，即
μ
=
i
=
{\displaystyle \mu =i=}
链式法则 求导数，可得固有速度 w = U i ：
U
i
=
d
x
i
d
τ
=
d
x
i
d
x
0
d
x
0
d
τ
=
d
x
i
d
x
0
c
γ
=
d
x
i
d
(
c
t
)
c
γ
=
1
c
d
x
i
d
t
c
γ
=
γ
d
x
i
d
t
=
γ
u
i
{\displaystyle U^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}{\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma u^{i}}
这里我们使用到经典力学中的速度定义：
u
=
u
i
=
d
x
i
d
t
{\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}={dx^{i} \over dt}}
因此四维速度
U
{\displaystyle U}
c 及经典速度u 的关系为
U
=
γ
(
c
,
u
)
{\displaystyle U=\gamma \left(c,\mathbf {u} \right)}
四维加速度 定义为四维速度对固有时的微分：
A
μ
=
d
U
μ
d
τ
{\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}
因为
U
μ
U
μ
=
−
c
2
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=-c^{2}\,}
0
=
d
d
τ
(
U
μ
U
μ
)
=
2
U
μ
d
U
μ
d
τ
{\displaystyle 0={\frac {d}{d\tau }}(U^{\mu }U_{\mu })=2U_{\mu }{\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}
因此得到以下四维速度和加速度的关系：
U
μ
A
μ
=
0
{\displaystyle U_{\mu }A^{\mu }=0\,}
在一个静止参考系中，
γ
=
1
{\displaystyle \gamma =1}
u
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} =0}
U
=
(
c
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle U=(c,0,0,0)\,}
注意到虽然仅仅在狭义相对论 的框架下，四维速度的模总等于光速；但不论是狭义相对论还是广义相对论 ，它总具有下面的性质：
U
μ
U
μ
=
−
c
2
{\displaystyle U_{\mu }U^{\mu }=-c^{2}\,}
这是一个类时 或零性的粒子轨迹必须满足的属性。
Einstein, Albert; translated by Robert W. Lawson. Relativity: The Special and General Theory. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995. 1920. Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd) . Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5
基础概念 现象 时空 运动学 动力学 历史背景 科学家 相关理论方法
^ Bernard Schutz. A First Course in General Relativity . Cambridge University Press. 14 May 2009. ISBN 978-0-521-88705-2
