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最小相位

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最小相位(minimum-phase)是控制理论信号处理中有特殊性质的系统,对于线性时不变系统,若本身为因果系统稳定,且其逆系统也是稳定的因果系统,此系统即为最小相位系统[1][2]

相反的,非最小相位(non-minimum phase)系统可以用最小相位系统串接全通滤波器,使部分的零点移到右半面。若有零点在右半面,表示其逆系统不稳定。全通滤波器加入了“额外的相位”(有些可能是传送迟延),这也是为何所得系统称为非最小相位的原因。

例如一个离散系统,其有理传递函数若其所有的极点都在单位圆内,此系统为符合因果性的稳定系统。不过此系统的零点可以在单位圆内或是圆外的任意位置。若离散系统的零点也都在单位圆内,则这个系统也是最小相位的系统。以下会说明为何这様的系统会称为最小相位系统。

逆系统

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一系统可逆的条件是可以由其输出找到唯一对应的输入,也就是可以找到系统使得若将二个系统连接,可以得到单位系统(可以参反矩阵)。

假设为系统的输入,其输出为

作为逆系统的输入,可得:

因此可以用逆系统,找到输出对应的唯一输入

离散时间的例子

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假设系统是离散时间的线性非时变系统(LTI),可以用冲激响应n为整数)表示。而且,假设系统的 冲激响应为。二个线性非时变系统的级联为卷积。上述的关系可以以下式表示:

其中克罗内克函数或是离散时间下的单位矩阵。注意其逆系统不一定要是唯一的。

最小相位系统

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若系统再加上因果性稳定性的条件时,其逆系统就是唯一的,而且系统和逆系统都是最小相位系统。离散系统下因果性及稳定性的条件如下(针对非时变系统,其中的h为系统的冲激响应):

因果性

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稳定性

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有界输入有界输出稳定性条目会看到对应连续系统的条件。

频域分析

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离散时间系统的频域分析

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将最小相位应用在离散时间系统中可以看出一些其中的特性,其时域方程式如下。

进行Z转换后可以得到以下的关系。

由于上述关系,可得

为了简单起见,只考虑有理传递函数 H (z)。因果性及稳定性表示所有的H (z)极点都需要严格的在单位圆内(参照有界输入有界输出稳定性)。假设

其中A (z)及D (z)是z多项式。因果性及稳定性会使得D (z)的零点)需要严格的在单位圆内(不能在边界上)。而

因此的因果性及稳定性也会使得为A (z)的零点需要严格的在单位圆内,上述二个条件下,最小相位系统的零点及极点都需要在严格的在单位圆内。

连续时间系统的频域分析

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连续时间系统的分析和离散系统类似,不过会使用拉普拉斯变换,其时域的方程式如下。

其中狄拉克δ函数狄拉克δ函数是连续时间下的恒等算子,因为其和任意信号x (t)都会有筛选性质。

进行拉普拉斯变换可得到以下S平面的关系。

也可以得到下式

为简化起见,此处也只考虑有理传递函数H(s)。因果性及稳定性表示H (s)的所有极点都要严格的在左半S平面(参考有界输入有界输出稳定性)。假设

其中A (s)及D (s)是s多项式的因果性及稳定性表示D (s)的所有零点都在左半S平面内,而

的因果性及稳定性表示A (s)的所有零点都在左半S平面内,因此最小相位系统的最有极点及零点都需要严格的在左半S平面内。

增益响应及相位响应的关系

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不论是连续时间或是离散时间的最小相位系统,都有一个常会用到的性质:增益频率响应的自然对数(增益的对数单位为奈培,和分贝成正比),和频率响应的相角(单位为弧度)有关,两者的关系是希尔伯特转换。在连续时间系统下,令

是系统H(s)的复数频率响应。在最小相位系统下,系统H(s)的相位响应和增益响应的关系为

以及

.

若用较精简的方式表示,令

其中都是实数下的实函数,则

.

希尔伯特转换算子定义为

.

在离散时间系统中也有等效的对应关系。

时域下的最小相位

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针对所有有相同增益响应的因果稳定系统,最小相位系统的能量最集中在冲激响应的开始处,也就是说最小相位系统最小化了以下的函数(可以视为是冲激响应能量的延迟)。

最小相位及最小群延迟

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在所有增益响应相同的因果稳定系统中,最小相位系统的群延迟最小。以下证明可以说明为何该系统有最小的群延迟。

假设考虑传递函数中的一个零点 ,先让零点单位圆内(),看对群延迟的影响。

因为零点 传递函数中贡献了的因子,因此其对相位的贡献如下:

所贡献的相延迟如下。

若将零点移到单位圆外的对应点,也就是,上式的分母和都不会变化,而分子的大小增加,因此让单位圆内可以让群延迟中的贡献最小化。可以将上述结果延伸到超过一个零点的情形,因为的相位是各项次相位相加的结果,因此,对于有个零点的传递函数

一个所有零点都在单位圆内的最小相位系统可以让群延迟降到最小,因为每个零点对群延迟的贡献都降到最小。

上述计算的图示。上下二部分是相同增益响应的滤波器(左图为奈奎斯特图,右图为相位响应),但上方零点的系统,其相位响应的大小最小

非最小相位系统

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若系统本身是因果稳定系统,其逆系统具有因果性,但不稳定,原系统即为非最小相位系统(non-minimum-phase)。非最小相位系统和最小相位系统有相同的增益响应,但非最小相位系统的相位贡献会比最小相位系统要大。

最大相位系统

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最大相位系统(maximum-phase)是和最小相位系统有相反特性的系统,最大相位系统也是非最小相位系统(系统本身是因果稳定系统,其逆系统具有因果性,但不稳定),而且

  • 离散时间系统下的零点都在单位圆外。
  • 连续时间系统下的零点都在复数平面的右半边。

也就是其逆系统所有的极点都不稳定。

此系统称为最大相位系统的原因是在所有有相同增益响应的系统中,最大相位系统有最大的群延迟。在等增益响应的系统的系统中,最大相位系统有最大的能量延迟。

例如以下是二个连续时间LTI系统的传递函数

这二个系统的增益响应相同,但第二个系统相位移的贡献较大,因此第二个系统是最大相位系统,而第一个系统为最小相位系统。

混合相位系统

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离散时间下的混合相位系统(mixed-phase)有些零点在单位圆内,有些零在单位圆外,其群延迟不是最小值,也不是最大值。连续时间下的混合相位系统则是有些零点在右半平面内,有些零点在右半平面。

例如连续时间系统

是因果稳定系统,但有零点在左半平面,也有零点在右半平面,因此是混合相位系统。

线性相位

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线性相位英语linear phase(linear-phase)系统的群延迟是定值。非平凡的线性相位系统或是接近线性相位系统都是混合相位系统。

相关条目

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参考资料

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  1. ^ Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. Linear estimation. Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. 2000: 193. ISBN 0-13-022464-2. 
  2. ^ J. O. Smith III, Introduction to Digital Filters with Audio Applications页面存档备份,存于互联网档案馆 (September 2007 Edition).

延伸阅读

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  • Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
  • Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6