指數分布 的累積分布函數
常態分布 的累積分布函數
累積分布函數 (英語:cumulative distribution function ,CDF)或機率分布函數 ,簡稱分布函數 ,是機率密度函數 的積分,能完整描述一個實隨機變數
X
{\displaystyle X}
的機率分布 。
在標量連續分布 的情況下,它給出了從負無窮到
x
{\displaystyle x}
的機率密度函數 下的面積。 累積分布函數 也用於指定多元隨機變數 的分布。
對於所有實數 值的隨機變數
X
{\displaystyle X}
,累積分布函數定義如下[ 1] :p. 77 :
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}
Eq.1
其中右側表示隨機變數
x
{\displaystyle x}
取值小於或等於
x
{\displaystyle x}
的機率 。
對於
X
{\displaystyle X}
位於半閉區間
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
的機率,其中
a
<
b
{\displaystyle a<b}
,因此定義是[ 1] :p. 84 :
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
Eq.2
在上面的定義中,「小於或等於」符號「≤」是一種約定,不是普遍使用的(例如匈牙利文獻使用「<」),但這種區別對於離散分布很重要。二項式分布 和卜瓦松分布 的表格的正確使用取決於此約定。此外,像數學家保羅·皮埃爾·萊維 (Paul Lévy)的特徵函數 反演公式等重要公式也依賴於「小於或等於」公式。
有界性 [ 2]
lim
x
→
−
∞
F
X
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}
lim
x
→
+
∞
F
X
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}
單調性 :
F
X
(
x
1
)
≤
F
X
(
x
2
)
,
if
x
1
<
x
2
{\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}}
右連續 性:
lim
x
→
x
0
+
F
X
(
x
)
=
F
X
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})}
X
{\displaystyle X}
之值落在一區間
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
之內的機率為
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
一隨機變數
X
{\displaystyle X}
的CDF與其PDF的關係為
F
X
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
X
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt}
若累積分布函數
F
{\displaystyle F}
是連續的嚴格增函數,則存在其反函數
F
−
1
(
y
)
,
y
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle F^{-1}(y),y\in [0,1]}
。累積分布函數的反函數可以用來生成服從該隨機分布的隨機變數。設若
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
是機率分布
X
{\displaystyle X}
的累積分布函數,並存在反函數
F
X
−
1
{\displaystyle F_{X}^{-1}}
。若
a
{\displaystyle a}
是
[
0
,
1
)
{\displaystyle [0,1)}
區間上均勻分布的隨機變數,則
F
X
−
1
(
a
)
{\displaystyle F_{X}^{-1}(a)}
服從
X
{\displaystyle X}
分布。
互補累積分布函數(complementary cumulative distribution function、CCDF),是對連續函數,所有大於
a
{\displaystyle a}
的值,其出現機率的和。
F
(
a
)
=
P
(
x
>
a
)
{\displaystyle F(a)=P(x>a)}
^ 1.0 1.1 Park, Kun Il. Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. 2018. ISBN 978-3-319-68074-3 .
^ 《機率論與數理統計教程》茆詩松 程依明 濮曉龍