速率

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高速行進的汽車

速率物理學中的一個基本概念,用來表示物體運動的快慢程度。

在日常生活中,速率常常和速度混用,但兩者在物理學中對應著不同的概念。速率是一個純量,只有大小,沒有方向。它的因次是長度除以時間。速度的因次和速率相同,但速度是有方向的向量[1]。物體的瞬時速率等於瞬時速度的大小,而平均速率則不一定等於平均速度的大小。在日常生活中,也用「速度」這個詞表示速率的意思。

國際單位制中,速率的單位為米每秒(m/s),但日常生活中較常用的單位是千米每小時(km/hr)或是英制系統下的英里每小時(mph)。海上船隻或物體的行進速率,一般會使用作為單位。

依照狹義相對論,能量或信息所能傳遞的最快速率為真空中的光速c = 299,792,458 米每秒,大約是1,079,000,000千米每小時或671,000,000英里每小時。靜止質量不為零的物質要加速到此速率,需要無限大的能量。在相對論物理學中,會用快度來取代古典力學中的速度[2]

定義[編輯]

用數學語言來描述,如果一個物體在一段時間T內移動的路程為s,那麼它的平均速率(用\bar{v}表示)便是sT的比,具體可由下式給出:

\bar{v}=\frac{s}{T}

例如,一輛汽車在2小時內行駛了60公里,它在這段時間內的平均速率是30公里每小時。而一個物體在某個時刻的速率,則是它在這個時刻前後的一段極短時間中經過的路程ds與這段時間長度dt的比:

v=\frac{ds}{dt}

精確地說,假設路程s是一個關於時間t的函數,那麼物體在某個時刻t_0瞬時速率,是以上比值在dt趨向於0時的極限值。或者說,是st_0時刻對時間的導數

v_{t_0}=\left.\lim_{dt \to 0}\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_0} =  \left.\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_0}

在某些簡化的物理模型中,物體在某個時刻之前的速率v_{t_0}^-可能不等於其之後的速率 v_{t_0}^+

v_{t_0}^- = \left.\lim_{dt \to 0}\frac{s(t) - s(t-dt)}{dt}\right|_{t=t_0} \neq  \left.\lim_{dt \to 0}\frac{s(t+dt) - s(t)}{dt}\right|_{t=t_0} =  v_{t_0}^+

比如簡單的碰撞模型中的碰撞前速率和碰撞後速率。但在古典物理學中,總假設物體的路程,以及瞬時速度和瞬時速率都是連續變化的。簡化模型中出現不連續的速率是忽略了極短時間內速率變化的結果。

物體的瞬時速率等於其瞬時速度的大小。然而,物體的平均速率一般不等於其平均速度的大小[3]。蓋因路程和位移的概念不同。例如一個物體做勻速圓周運動一周,則其平均速率為一個不為零的定值,但其平均速度是0。

例子[編輯]

瞬時速率[編輯]

車輛上的速度表英語speedometer可以顯示任何時刻的瞬時速率[4]p.42。瞬時速率可能會隨時間而變動,一輛車在某個時刻的瞬時速率50公里/小時,但它維持此速率的時間可以是一秒、一分鐘或一小時。不過假若此車連續一小時以50公里/小時的(瞬時)速率行駛,則它所走路程為50公里。

平均速率[編輯]

如果一輛車在一小時內行駛了80公里,則它在這一個小時中的平均速率為80公里/小時;若一輛車在第一個小時內行駛了140公里,在接下來的三個小時中行駛了180公里,則它在這四小時內的平均速率也是80公里/小時。但若分別考慮此車第一個小時以及其後三個小時內的平均速率,其數值就不是80公里/小時了。

平均速率可能會和過程中的瞬時速率有相當的差異[4]p.42。若已知平均速率和時間,可以求得這段時間所走的路程:

s = \bar{v}T

依上述公式可得,若一輛車行駛了四小時,這四小時的平均速率為80公里/小時,則它在四個小時中行駛的總路程為320公里。

若以圖像的方式,可以利用路程-時間圖來顯示速率。路程-時間圖上的曲線表示了物體移動的路程是如何隨時間變化的。曲線上任意一點對應著一個時刻和物體在這一時刻移動的路程。曲線在一點上切線斜率即為此時刻的瞬時速率,而曲線上兩點的割線斜率即為對應的二個時刻之間的平均速率。

切線速率[編輯]

物體在單位時間內經歷的路程,是為速率或線速率,而如果物體在做圓周運動,那麼它的速率也稱為切線速率[4]p.131,因為它運動的方向是沿著圓周的切線方向。旋轉木馬轉一圈時,位置靠外的木馬走過的路程比位置靠內的木馬要多。這說明位置靠外的木馬平均速率比位置靠內的木馬要大。 對於圓周運動的物體而言,切線速率及線速率二者可互換使用,二者的單位均為m/s或km/h。

轉速英語Rotational speed或角速率是指單位時間內轉的圈數。旋轉木馬中,不同位置的木馬切線速率可能不同,但所有木馬在相同時間內都旋轉了相同的圈數,因此其角速率均相同。轉速一般以每分鐘轉速或是以單位時間的弧度作為單位。旋轉一圈的弧度略大於6個弧度(精確值為2 \pi弧度)。若將角速率加上方向,則成為角速度,前者為一純量,後者則為一向量。若兩片CD每秒都旋轉20圈,一片順時針旋轉,另一片逆時針旋轉,那麼二者的角速率相同,但角速度不同。

圓周運動的物體(或距旋轉軸固定距離的一點),其切線速率和轉速成正比[4]p.131。不過切線速率和轉速不同,一點的切線速率和距旋轉軸的距離有關,距旋轉軸不同距離的二點,其轉速相等,但切線速率不相等。旋轉軸上的點,其切線速率甚至為零。在一旋轉的物體上,離旋轉軸越遠,會發現線速率越快。若轉速固定,則切線速率和一點距旋轉軸的距離成正比[4]p.132,因此可得下式:

v \sim \!\, r \omega

其中

v為切線速率
ω為轉速
r為距旋轉軸的距離

因此只要轉速變快或是距旋轉軸的距離變長,都會使切線速度變快。

若切線速率、轉速及距離選擇適當的單位(例如切線速率單位選擇m/s,轉速單位選擇弧度/s,距離單位選擇m),上式的比例關係可以變成以下的等式:

v = r\omega

因此,一個系統只要所有部份的角速度相同,其切線速度只和距旋轉軸的距離有關。(上述切線速度和距離的比例關係不適用於行星的運轉,因為行星在不同位置的角速度不同)

單位[編輯]

速率的單位包括:

速率各單位間重要的換算關係包括:

常見速率單位之間的轉換
m/s km/h mph ft/s
1 m/s = 1 3.6 2.236936 1.943844 3.280840
1 km/h = 0.277778 1 0.621371 0.539957 0.911344
1 mph = 0.44704 1.609344 1 0.868976 1.466667
1 節 = 0.514444 1.852 1.150779 1 1.687810
1 ft/s = 0.3048 1.09728 0.681818 0.592484 1

粗體字的數值是精確值)

不同速率的例子[編輯]

速率 m/s ft/s km/h mph 註解
大陸飄移的平均速率 0.00000001 0.00000003 0.00000004 0.00000002 4公分/年,速率依位置而異
普通蝸牛的速率 0.001 0.003 0.004 0.002 1毫米每秒
輕快地步行 1.7 5.5 6 4
奧林匹克短跑選手(100米內的平均速率) 10 32.8 36 22
大部份郊區道路的速限 13.8 45.3 50 30
台北101觀光電梯 16.7 54.8 60.6 37.6 1,010 m/min[5]
香港巴士的最高運行速率 20 65.6 72
一般鄉間道路的速限 24.6 80.66 88.5 56
薩菲爾-辛普森颶風等級的一級颶風 33 108 119 74 一分鐘平均風速需大於此數值
法國高速公路限速 36.1 118 130[6] 81
人力驅動的最快速度 37.02 121.5 133.2 82.8 加拿大自行車手Sam Whittingham利用斜躺腳踏車英語recumbent bicycle創下的記錄[7]
漆彈槍的槍口初速 90 295 320 200
波音747-8巡航速率 255 836 917 570 0.85馬赫
陸上速度記錄 341.1 1119.1 1227.98 763 超音速推進號在1997年10月15日創下[8]
在海平面大氣壓、20°C(293克耳文)的乾燥空氣中的聲速 343 1,125 1,235 768 由定義=1馬赫
AK-47突擊步槍槍口初速 710 2,330 2,600 1600
正式的飛行速度記錄 980 3,215 3,530 2,194 SR-71黑鳥式偵察機在1976年7月28日創下[9]
太空梭返回地球時的速率 7,800 25,600 28,000 17,500
相對於地球的逃逸速度 11,200 36,700 40,000 25,000 地表的逃逸速度為11.2 km/s[10]
地球的平均公轉速率 29,783 97,713 107,218 66,623
真空中的光速(符號c 299,792,458 983,571,056 1,079,252,848 670,616,629

參見[編輯]

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維基詞典上的詞義解釋:

參考資料[編輯]

  1. ^ 速度、速率及加速度. 台灣師範大學物理系. [2013-10-12]. 
  2. ^ Rapidity and invariant cross sections - Phenix - Brookhaven National (PDF). [2013-10-12]. 
  3. ^ 平均速度. 台灣長庚大學. 2005-07-28 [2013-10-12]. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Paul G. Hewitt. Conceptual Physics. USB: Pearson Addison Wesley. 2006. ISBN 0805393757. 
  5. ^ 中國電梯行業大事簡記. 上海勒邦電梯. 2009-05-19 [2013-10-12]. 
  6. ^ 法國開車初體驗. 旭途旅遊. [2013-10-12]. 
  7. ^ The Recumbent Bicycle and Human Powered Vehicle Information Center. Wisil.recumbents.com. [2013-10-12]. 
  8. ^ Thrust SSC Run database 
  9. ^ 大陸新聞中心. 軍武/「黑鳥」如影隨形 比子彈還快的飛機報你知. 明日報 (今日傳媒公司). 2013-02-02 [2013-10-12]. 
  10. ^ 宇宙航行. Rc.k12.com.cn. [2013-10-12]. 

外部連結[編輯]