二項式係數

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在數學裡，二項式係數，或组合数，是定義為形如(1 + x)ⁿ的二項式n次冪展開後x^k的係數（其中n為自然數，k為整數），通常記為。從定義可看出二項式係數的值為整數。

一般二項式x + y的冪可用二項式係數記為

。

廣義二項式定理把這結果推廣至負數或非整數次冪，此時右式則不再是多項式，而是無窮級數。

二項式係數對組合數學很重要，因它的意義是從n件物件中，不分先後地選取k件的方法總數，因此也叫做组合数。因此它有其他記法：兩種不相容的記法和，還有ⁿC_k、_nC_k和C(n,k)，其中C表示組合的數目，讀作「n選k」。從定義出發，把n個1+x項的乘積展開，其中任意k項的x和n−k項的1相乘得出一個x^k，故此x^k的係數是從n個選取k個的方法總數。把各項的x標記可以更清楚看出：當n=4, k=2時，

(1 + x₁)(1 + x₂)(1 + x₃)(1 + x₄)

= ... + x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄ + ...，

所以x²的係數6等於從4項物件選取2項的方法總數。

二項式係數的值有公式：

		若
		否則

（其中n!表自然數n的階乘）。二項式係數是帕斯卡三角形的第n+1行從左起第k+1個數，它最先由楊輝發現。

二項式係數符合等式：

，

，

可以由其公式證出，也可以從其在組合數學的意義推導出來。如第一式左項表示從n+1件選取k件的方法數，這些方法可分為沒有選取第n+1件，即是從其餘n件選取k件；和有選取第n+1件，即是從其餘n件選取k−1件。而第二式則是每個從n件選取k件的方法，也可看為選取其餘n−k件的方法。