高斯符號

高斯符號是一个数学符号，形式为方括号[x]，表示不大於（等于或小于）数 x的最大整數，即x-1＜[x]≤x。[x]也可以看作一个函数，常被称为高斯函数。

高斯符號首次出現是在高斯的數學巨著《整數論研考》(Disquisitiones Arithmeticae)

运算示例：[3.14159]=3，[2]=2，[-2.5]=-3。

在计算机科学中，高斯函数常表示为INT()函数。

此符號之作用等同於地板函數(floor function), x的地板函數表示為$\lfloor$x$\rfloor$, 等同高斯符號[x]

高斯函数的一些性质

• $\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$

当且仅当x是整数时，左面的等号成立。

• 对于所有实数x，有：

$\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor = \frac{1}{4} ((-1)^{\lfloor x \rfloor} -1 + 2 \lfloor x \rfloor)$

$\left\lfloor \frac{x}{3} \right\rfloor = \frac{-2}{\sqrt{3}} \sin(\frac{2\pi}{3}\lfloor x \rfloor +\frac{\pi}{3}) + 1$

• 当x和n是正数时，有：

$\left\lfloor \frac{n}{x} \right\rfloor \geq \frac{n}{x} - \frac{x-1}{x}$

• 对于任何整数k和任何实数x，有：

$\lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.$

• 如果x是实数，n是整数，我们有n ≤ x当且仅当n ≤ floor(x)。
• 利用高斯函数，可以产生许多素数公式（但没有实际用途）。
• 对于非整数的实数x，高斯函数具有以下的傅里叶级数展开式：

$\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.$

• 如果m和n是互素的正整数，那么：

$\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2$