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克鲁尔维数

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交換代數中,一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依學數家 Wolfgang Krull(1899年-1971年)命名。

定義[编辑]

設交換環 中有 素理想 ,使得

則稱之為長度為 素理想鏈,一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度,這也等於是 中素理想的最大可能高度

根據定義, 的維數與對素理想的局部化有下述關係

其中 的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想。當 鏈環時,對各極大理想的局部化皆有相同維數;代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。

例子與性質[编辑]

例如在環 中可考慮以下的素理想鏈

因此 ;事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質:

  • 零維的整環
  • 離散賦值環戴德金整環是一維的。
  • ,則 ;當 諾特環時則
  • ,則
  • -代數,同時又是有限生成的 -模,則

與幾何的關係[编辑]

代數幾何中,一個概形的維數被定義為各局部環的克鲁尔維數的上確界;對於仿射概形 ,則回歸到

為域, 是有限型 -整代數,這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理,存在非負整數 中彼此代數獨立的元素 ,使得 是有限生成之 -模,因此 。從幾何觀點看, 此時是 的有限分歧覆蓋,因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀:

  1. 是分歧覆蓋,則

特別是當 時,代數簇的克鲁尔維數等於複幾何中定義的維數。

文獻[编辑]