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魔群

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群论
Rubik's cube.svg

魔群英语:Monster group)或怪獸群,或友善巨人(the Friendly Giant)或費雪─格里斯怪獸(Fischer-Griess Monster),是一個有限單群,是26個散在群的其中之一,一般常將之記作MF1

怪獸群的是26個散在群中最大的,其階為

246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000
8 · 1053

有限單群的分類已完成(見有限單群分類一文)。每個有限單群都屬於當中有的18類可數無限族中,或不包含於那些可系統化模式的18類可數無限族中,那26個的「散單群」中。而怪獸群是那26個散單群中階數最大的群。而二十六個散單群除了六個,其餘的散單群均是怪獸群的子集合。羅伯特‧格里斯(Robert Griess)將那六個不為魔群子集的群稱為「低群」(pariahs),並以「快樂大家族」(the happy family)一詞稱呼其他的散單群。

或許對怪獸群最好的定義方式,就是將之定義為同時包含康威群(Conway group)和費歇爾群英语Fischer group的的有限單群中階最小者(怪獸群雖為散在群中階最大的,但這不表示它是所有有限單群中階最大的,其他類的有限單群中有階比其更大者存在)。

存在性與唯一性[编辑]

怪獸群的存在性最早在1973年為貝恩德‧費雪(Bernd Fischer,他未出版相關想法)與羅伯特‧格里斯所預測,他們當時認為存在一個單群,該單群包含子怪獸群中做為某個對合中心化子的某個雙覆蓋。數月後,M的階被格里斯以湯普森階公式(Thompson order formula)計算出,而費雪(Fischer)、康威(Conway)、諾頓(Norton)與湯普森(Thompson)等人則發現此群包含了其他的群做為其子商,被包含的群包括了許多已知的散單群,此外他們還發現了兩個新的單群:湯普森群原田-諾頓群。格里斯將怪獸群建構為格里斯代數(一個196884維的交換非結合代數)的自同構群約翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)隨後簡化了其建構。

格里斯的建構證明了怪獸群的存在。約翰‧湯普森(John G. Thompson)則說明了其做為階為此數的單群的唯一性可由一個196883維忠實表示法的存在得出。該表示法的存在性在1982年為西蒙‧諾頓(Simon P. Norton)提出,然而他從未發表此證明的細節。第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯、麥爾法蘭肯菲爾德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)給出。

月光猜想[编辑]

怪獸群是康威(Conway)和諾頓(Norton)所提出的怪兽月光理论的兩個主要成份之一。此猜想與離散和非離散數學相關,並在1992年為理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所證明。

在此設定下,怪獸群可由怪獸群模組的自同構群示現:亦即由一作用在怪獸李代數上,屬廣義Kac–Moody代數,且包含Griess代數的無窮維代數的頂點算子代數示現而出。


表示與維度[编辑]

  一個忠實的複數表示的最小度數是196,883,它是怪獸群階數可分得3個因子乘積的分割。當中怪獸群的最小忠實排列表示是 24 · 37 · 53 · 74 · 11 · 132 · 29 · 41 · 59 · 71 (約 1020)點。他可被視為有理數上的一個伽罗瓦群Thompson 1984,p. 443)而實現,並視為一個胡爾維茲群(Hurwitz group)(Wilson 2004)。

  怪獸群在單群中並不平常,因並沒有已知的簡單規則或方法可表示他的元素,而這並非起因於他大小的表示因素。例如,單群"A"100和SL20(2)相對是大,但容易計算,因為它們是具已知的置換或線性表示;交錯群具有與之的大小相較下的置換表示,且所有有限單李型式群有線性表示。除了怪物群之外的所有散單群體也具有足夠小的線性表示,以至於它們易於在計算機上工作(而難度僅次於怪物群的,為可分割成維度4370的小怪獸群(baby Monster)表示)。

麥凱的E8觀察[编辑]

怪獸群和擴張登金圖(Dynkin diagram)亦存在著關係,其關聯在圖結點與怪獸群同餘類之間表現得更明顯,此關聯又被稱作「麥凱的E8觀察」(McKay's E8 observation)[1][2]

子群結構[编辑]

Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups

怪獸群包含了至少44個共軛類極大子群。六十數種同構類型的非交換單群,亦包含在怪獸群中,做為怪獸群的子群或子群的商群。

怪獸群的子群包括了26個散在群中的多數,但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之圖是基於馬克‧羅南(Mark Ronan)所撰的書《Symmetry and the Monster》的,表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的。線段表示下方的群被其上的群所包含,並為其上的群的子商。圈起來的符號,表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中。為了清楚表明,多餘的包含關係在此圖中未表示。


  • 2.B   對合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正規化子(normalizer) (47:23) × 2 。
  • 21+24.Co1   對合的中心化子。
  • 3.Fi24  階數3子群的正規化子;包含一Sylow 29-子群的正規化子((29:14) × 3).2。
  • 22.2E6(22):S3   一Klein 4-群的正規化子。
  • 210+16.O10+(2)
  • 22+11+22.(M24 × S3)   一Klein 4-群的正規化子; 含一Sylow 23-子群的正規化子(23:11) × S4
  • 31+12.2Suz.2   階數3子群的正規化子。
  • 25+10+20.(S3 × L5(2))
  • S3 × Th   階數3子群的正規化子;含一Sylow 31-子群的正規化子(31:15) × S3
  • 23+6+12+18.(L3(2) × 3S6)
  • 38.O8(3).23
  • (D10 × HN).2   階數5子群的正規化子。
  • (32:2 × O8+(3)).S4
  • 32+5+10.(M11 × 2S4)
  • 33+2+6+6:(L3(3) × SD16)
  • 51+6:2J2:4   階數5子群的正規化子。
  • (7:3 × He):2   階數7子群的正規化子。
  • (A5 × A12):2
  • 53+3.(2 × L3(5))
  • (A6 × A6 × A6).(2 × S4)
  • (A5 × U3(8):31):2   含一Sylow 19-子群的正規化子((19:9) × A5):2 。
  • 52+2+4:(S3 × GL2(5))
  • (L3(2) × S4(4):2).2   含一Sylow 17-子群的正規化子 ((17:8) × L3(2)).2 。
  • 71+4:(3 × 2S7)   階數7子群的正規化子。
  • (52:4.22 × U3(5)).S3
  • (L2(11) × M12):2   包含階數11子群的正規化子(11:5 × M12):2 。
  • (A7 × (A5 × A5):22):2
  • 54:(3 × 2L2(25)):22
  • 72+1+2:GL2(7)
  • M11 × A6.22
  • (S5 × S5 × S5):S3
  • (L2(11) × L2(11)):4
  • 132:2L2(13).4
  • (72:(3 × 2A4) × L2(7)):2
  • (13:6 × L3(3)).2   階數13子群的正規化子。
  • 131+2:(3 × 4S4)   階數13子群的正規化子; 一Sylow 13-子群的正規化子。
  • L2(71)   Holmes & Wilson (2008) 含一Sylow 71-子群的正規化子71:35。
  • L2(59)   Holmes & Wilson (2004) 含一Sylow 59-子群的正規化子59:29。
  • 112:(5 × 2A5)   Sylow 11-子群的正規化子。
  • L2(41)   Norton & Wilson (2013) 找到此形式的極大子群; 此是由於Zavarnitsine指出一些先前的的沒有這樣的極大子群存在。
  • L2(29):2   Holmes & Wilson (2002)
  • 72:SL2(7)  一些過去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。
  • L2(19):2   Holmes & Wilson (2008)
  • 41:40   一Sylow 41-子群的正規化子。

腳註[编辑]

  1. ^ Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram, by John F. Duncan, in Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay
  2. ^ le Bruyn, Lieven, the monster graph and McKay’s observation, 22 April 2009, (原始内容存档于14 八月 2010) 

參照[编辑]

外部連結[编辑]