魔群
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魔群(英语:Monster group)或怪兽群,或友善巨人(the Friendly Giant)或费希尔─格里斯怪兽(Fischer-Griess Monster),是一个有限单群,是26个散在群的其中之一,一般常将之记作M或F1。
怪兽群的阶是26个散在群中最大的,其阶为
246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 | |
= | 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 |
≈ | 8 · 1053 |
有限单群的分类已完成(见有限单群分类一文)。每个有限单群都属于当中有的18类可数无限族中,或不包含于那些可系统化模式的18类可数无限族中,那26个的“散单群”中。而怪兽群是那26个散单群中阶数最大的群。而二十六个散单群除了六个,其余的散单群均是怪兽群的子集合。罗伯特‧格里斯(Robert Griess)将那六个不为魔群子集的群称为“低群”(pariahs),并以“快乐大家族”(the happy family)一词称呼其他的散单群。
或许对怪兽群最好的定义方式,就是将之定义为同时包含康威群(Conway group)和费歇尔群的有限单群中阶最小者(怪兽群虽为散在群中阶最大的,但这不表示它是所有有限单群中阶最大的,其他类的有限单群中有阶比其更大者存在)。
存在性与唯一性
[编辑]怪兽群的存在性最早在1973年为贝恩德‧费希尔(Bernd Fischer,他未出版相关想法)与罗伯特‧格里斯所预测,他们当时认为存在一个单群,该单群包含子怪兽群中做为某个对合的中心化子的某个双覆盖。数月后,M的阶被格里斯以汤普森阶公式(Thompson order formula)计算出,而费希尔(Fischer)、康威(Conway)、诺顿(Norton)与汤普森(Thompson)等人则发现此群包含了其他的群做为其子商,被包含的群包括了许多已知的散单群,此外他们还发现了两个新的单群:汤普森群和原田-诺顿群。格里斯将怪兽群建构为格里斯代数(一个196884维的交换非结合代数)的自同构群。约翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)随后简化了其建构。
格里斯的建构证明了怪兽群的存在。约翰‧汤普森(John G. Thompson)则说明了其做为阶为此数的单群的唯一性可由一个196883维忠实表示法的存在得出。该表示法的存在性在1982年为西蒙‧诺顿(Simon P. Norton)提出,然而他从未发表此证明的细节。第一个关于怪兽群唯一性的证明则由格里斯、麦尔法兰肯菲尔德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)给出。
月光猜想
[编辑]怪兽群是康威(Conway)和诺顿(Norton)所提出的怪兽月光理论的两个主要成分之一。此猜想与离散和非离散数学相关,并在1992年为理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所证明。
在此设定下,怪兽群可由怪兽群模组的自同构群示现:亦即由一作用在怪兽李代数上,属广义Kac–Moody代数,且包含Griess代数的无穷维代数的顶点算子代数示现而出。
表示与维度
[编辑]一个忠实的复数表示的最小度数是196,883,它是怪兽群阶数可分得3个因子乘积的分割。当中怪兽群的最小忠实排列表示是 24 · 37 · 53 · 74 · 11 · 132 · 29 · 41 · 59 · 71 (约 1020)点。他可被视为有理数上的一个伽罗瓦群(Thompson 1984,p. 443)而实现,并视为一个胡尔维兹群(Hurwitz group)(Wilson 2004)。
怪兽群在单群中并不平常,因并没有已知的简单规则或方法可表示他的元素,而这并非起因于他大小的表示因素。例如,单群"A"100和SL20(2)相对是大,但容易计算,因为它们是具已知的置换或线性表示;交错群具有与之的大小相较下的置换表示,且所有有限单李型式群有线性表示。除了怪物群之外的所有散单群体也具有足够小的线性表示,以至于它们易于在计算机上工作(而难度仅次于怪物群的,为可分割成维度4370的小怪兽群(baby Monster)表示)。
麦凯的E8观察
[编辑]怪兽群和扩张登金图(Dynkin diagram)亦存在着关系,其关联在图结点与怪兽群同余类之间表现得更明显,此关联又被称作“麦凯的E8观察”(McKay's E8 observation)[1][2]
子群结构
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/SporadicGroups.svg/200px-SporadicGroups.svg.png)
怪兽群包含了至少44个共轭类的极大子群。六十数种同构类型的非交换单群,亦包含在怪兽群中,做为怪兽群的子群或子群的商群。
怪兽群的子群包括了26个散在群中的多数,但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之图是基于马克‧罗南(Mark Ronan)所撰的书《Symmetry and the Monster》的,表明这些散在单群是如何与彼此产生关系的。线段表示下方的群被其上的群所包含,并为其上的群的子商。圈起来的符号,表示该符号所代表的群不被包含于其他更大的散在单群中。为了清楚表明,多余的包含关系在此图中未表示。
- 2.B 对合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正规化子(normalizer) (47:23) × 2 。
- 21+24.Co1 对合的中心化子。
- 3.Fi24 阶数3子群的正规化子;包含一Sylow 29-子群的正规化子((29:14) × 3).2。
- 22.2E6(22):S3 一Klein 4-群的正规化子。
- 210+16.O10+(2)
- 22+11+22.(M24 × S3) 一Klein 4-群的正规化子; 含一Sylow 23-子群的正规化子(23:11) × S4。
- 31+12.2Suz.2 阶数3子群的正规化子。
- 25+10+20.(S3 × L5(2))
- S3 × Th 阶数3子群的正规化子;含一Sylow 31-子群的正规化子(31:15) × S3 。
- 23+6+12+18.(L3(2) × 3S6)
- 38.O8−(3).23
- (D10 × HN).2 阶数5子群的正规化子。
- (32:2 × O8+(3)).S4
- 32+5+10.(M11 × 2S4)
- 33+2+6+6:(L3(3) × SD16)
- 51+6:2J2:4 阶数5子群的正规化子。
- (7:3 × He):2 阶数7子群的正规化子。
- (A5 × A12):2
- 53+3.(2 × L3(5))
- (A6 × A6 × A6).(2 × S4)
- (A5 × U3(8):31):2 含一Sylow 19-子群的正规化子((19:9) × A5):2 。
- 52+2+4:(S3 × GL2(5))
- (L3(2) × S4(4):2).2 含一Sylow 17-子群的正规化子 ((17:8) × L3(2)).2 。
- 71+4:(3 × 2S7) 阶数7子群的正规化子。
- (52:4.22 × U3(5)).S3
- (L2(11) × M12):2 包含阶数11子群的正规化子(11:5 × M12):2 。
- (A7 × (A5 × A5):22):2
- 54:(3 × 2L2(25)):22
- 72+1+2:GL2(7)
- M11 × A6.22
- (S5 × S5 × S5):S3
- (L2(11) × L2(11)):4
- 132:2L2(13).4
- (72:(3 × 2A4) × L2(7)):2
- (13:6 × L3(3)).2 阶数13子群的正规化子。
- 131+2:(3 × 4S4) 阶数13子群的正规化子; 一Sylow 13-子群的正规化子。
- L2(71) Holmes & Wilson (2008) 含一Sylow 71-子群的正规化子71:35。
- L2(59) Holmes & Wilson (2004) 含一Sylow 59-子群的正规化子59:29。
- 112:(5 × 2A5) Sylow 11-子群的正规化子。
- L2(41) Norton & Wilson (2013) 找到此形式的极大子群; 此是由于Zavarnitsine指出一些先前的没有这样的极大子群存在。
- L2(29):2 Holmes & Wilson (2002)
- 72:SL2(7) 一些过去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。
- L2(19):2 Holmes & Wilson (2008)
- 41:40 一Sylow 41-子群的正规化子。
相关条目
[编辑]- 超级单独素数:魔群阶数的素因数
脚注
[编辑]- ^ Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram Archive.is的存档,存档日期2012-07-13, by John F. Duncan, in Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay
- ^ le Bruyn, Lieven, the monster graph and McKay’s observation, 22 April 2009, (原始内容存档于2010-08-14)
参照
[编辑]- 约翰·何顿·康威 and S. P. Norton, Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), no. 3, 308–339.
- 约翰·何顿·康威; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford, England 1985.
- Griess, Robert L., The structure of the monster simple group, Scott, W. Richard; Gross, Fletcher (编), Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press: 113–118, 1976, ISBN 978-0-12-633650-4, MR 0399248
- Griess, Robert L., The friendly giant, Inventiones Mathematicae, 1982, 69 (1): 1–102, ISSN 0020-9910, MR 0671653, doi:10.1007/BF01389186
- Griess, Robert L; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav, A uniqueness proof for the Monster, 数学年刊, 1989, 130 (3): 567–602, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971455, MR 1025167, doi:10.2307/1971455
- Harada, Koichiro, Mathematics of the Monster, Sugaku Expositions, 2001, 14 (1): 55–71, ISSN 0898-9583, MR 1690763
- P. E. Holmes and R. A. Wilson, A computer construction of the Monster using 2-local subgroups, J. London Math. Soc. 67 (2003), 346–364.
- Ivanov, A. A., The Monster Group and Majorana Involutions, Cambridge tracts in mathematics 176, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88994-0
- S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh and R. A. Wilson, Computer construction of the Monster, J. Group Theory 1 (1998), 307–337.
- S. P. Norton, The uniqueness of the Fischer-Griess Monster, Finite groups—coming of age (Montreal, Que., 1982), 271–285, Contemp. Math., 45, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.
- M. Ronan, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-280722-6 (concise introduction for the lay reader).
- 马库斯·杜·索托伊, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader; published in the US by HarperCollins as Symmetry, ISBN 978-0-06-078940-4).
- Thompson, John G., Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ Q(μn), Journal of Algebra, 1984, 89 (2): 437–499, MR 0751155, doi:10.1016/0021-8693(84)90228-X
- Robert A. Wilson. The Monster is a Hurwitz group. Journal of Group Theory. 2001-09-11, 4 (4) [2018-04-02]. ISSN 1435-4446. doi:10.1515/jgth.2001.027. (原始内容存档于2016-04-01) (英语).