复分析 中的柯西-黎曼微分方程 （英語：Cauchy–Riemann equations ），又称柯西-黎曼条件 [ 1] 可微函数 在开集 中為全纯函数 的充要条件 的两个偏微分方程 ，以柯西 和黎曼 得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔 的著作中。后来欧拉 将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。
在一对实值函数
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,y)}
(1a)
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}
和
(1b)
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
.
{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}
通常，
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
实部 和虚部 ：
f
(
x
+
i
y
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
开集
C
{\displaystyle C}
连续可微 ，则当且仅当
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
f
=
u
+
i
v
{\displaystyle f=u+iv}
全纯 的
柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式：
(2)
i
∂
f
∂
x
=
∂
f
∂
y
.
{\displaystyle {i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}.}
在此形式中，方程对应于雅可比矩阵 结构上有如下形式
(
a
−
b
b
a
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}},}
其中
a
=
∂
u
/
∂
x
=
∂
v
/
∂
y
{\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}
b
=
∂
v
/
∂
x
=
−
∂
u
/
∂
y
{\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}
复数的矩阵表示 。几何上，这样的一个矩阵总是一个旋转 和一个缩放 的复合 ，从而是保角（保持角度 不变）的。因此，满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即，柯西-黎曼方程是函数成为共形映射 的条件。
方程组有时也被写作一个方程
(3)
∂
f
∂
z
¯
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}
其中微分算子
∂
∂
z
¯
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}
∂
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
∂
x
+
i
∂
∂
y
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}
在此形式中，柯西-黎曼方程可以解释为
f
{\displaystyle f}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
柯西-黎曼方程是函数的複 可微性 （或称全纯性 ）的充要条件(Ahlfors 1953 ，§1.2)。精确的讲，设
f
(
z
)
=
u
(
z
)
+
i
v
(
z
)
{\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}
为复数z ∈C 的函数，则f 在点z 0 的複 导数定义为
lim
h
→
0
h
∈
C
f
(
z
0
+
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
f
′
(
z
0
)
{\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})}
如果该极限存在。
若该极限存在，则可以取h →0沿着实轴或者虚轴的极限；它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近，得到
lim
h
→
0
h
∈
R
f
(
z
0
+
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
∂
f
∂
x
(
z
0
)
.
{\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).}
而从虚轴逼近有
lim
h
→
0
i
h
∈
i
R
f
(
z
0
+
i
h
)
−
f
(
z
0
)
i
h
=
lim
h
→
0
i
h
∈
i
R
−
i
f
(
z
0
+
i
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
−
i
∂
f
∂
y
(
z
0
)
.
{\displaystyle \lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}-i{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{h}}=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).}
f 沿着两个轴的导数相同也即
∂
f
∂
x
(
z
0
)
=
−
i
∂
f
∂
y
(
z
0
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),}
这就是在点z 0 的柯西-黎曼方程（2）。
反过来，如果f :C → C 作为映射到R 2 上的函数可微，则f 複 可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。
柯西-黎曼方程的一个解释(Pólya & Szegö 1978 )和複 变理论无关。设u 和v 在R 2 的开子集上满足柯西-黎曼方程，考虑向量场
f
¯
=
[
u
−
v
]
{\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}
将其视为（实）两个分量的向量。则第二个柯西-黎曼方程（1b）断言
f
¯
{\displaystyle {\bar {f}}}
无旋 ：
∂
(
−
v
)
∂
x
−
∂
u
∂
y
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}
第一个柯西-黎曼方程（1a）断言该向量场无源 （或者是零散度 ）：
∂
u
∂
x
+
∂
(
−
v
)
∂
y
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}
分别根据格林定理 和散度定理 ，这样的场是保守 的，而且没有源，在整个开域上净流量为零。（这两点在柯西积分定理 中作为实部和虚部结合起来。）在流体力学 中，这样的一个场是一个势流 (Chanson 2000 ) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFChanson2000 (幫助 ) 。在静磁学 中，这样的向量场是在不含电流的平面区域中的静磁场 的模型。在静电学 中，它们提供了不包含电荷的平面区域的电场模型。
柯西-黎曼方程的其他表述有时出现在其他坐标系 中。若（1a）和（1b）对于连续函数u 和v 成立，则如下方程也成立
∂
u
∂
s
=
∂
v
∂
n
,
∂
u
∂
n
=
−
∂
v
∂
s
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {\partial v}{\partial n}},\quad {\frac {\partial u}{\partial n}}=-{\frac {\partial v}{\partial s}}}
对于任何坐标(n (x ,y ), s (x ,y ))，如果它们满足
(
∇
n
,
∇
s
)
{\displaystyle \scriptstyle (\nabla n,\nabla s)}
正交 并且正定向 。因此，特别的有，在极坐标z =re iθ 下，方程组有如下形式
∂
u
∂
r
=
1
r
∂
v
∂
θ
,
∂
v
∂
r
=
−
1
r
∂
u
∂
θ
.
{\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}
结合成一个f 的方程，就有
∂
f
∂
r
=
1
i
r
∂
f
∂
θ
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}
非齐次柯西-黎曼方程由两个未知两个实变量的函数u (x ,y )和v (x ,y )的方程组成
∂
u
∂
x
−
∂
v
∂
y
=
α
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}=\alpha (x,y)}
∂
u
∂
y
+
∂
v
∂
x
=
β
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=\beta (x,y)}
对于给定的定义在R 2 的开子集上的函数α(x ,y )和β(x ,y )。这些方程经常合并为一个方程。
∂
f
∂
z
¯
=
ϕ
(
z
,
z
¯
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\phi (z,{\bar {z}})}
其中f =u +iv ，φ=(α+iβ)/2。
若φ是Ck 的，则在有界区域D 中方程显式可解，只要φ在D 的闭包 上连续。实际上，按照柯西积分公式 ，
f
(
ζ
,
ζ
¯
)
=
1
2
π
i
∬
D
ϕ
(
z
,
z
¯
)
d
z
∧
d
z
¯
z
−
ζ
{\displaystyle f(\zeta ,{\bar {\zeta }})={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\phi (z,{\bar {z}}){\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}}
对于所有ζ∈D 成立。
设f = u +iv 为复函数，作为函数f : R 2 → R 2 可微 。则柯西积分定理 （柯西－古尔萨定理）断言f 在开複 域Ω上解析当且仅当它在该域上满足柯西-黎曼方程(Rudin 1966 ，Theorem 11.2)。特别是，f 不需假定为连续可微(Dieudonné 1969 ，§9.10, Ex. 1)。
柯西－古尔萨定理的假设可以大幅减弱；f 不需可微，只要f =u +iv 在Ω上连续且f 关于x 和y 的偏导数 在Ω中存在即可，这个结果称为Looman–Menchoff定理 。
f 在整个域Ω上满足柯西-黎曼方程是要点。可以构造在一点满足柯西-黎曼方程的连续函数，但它不在该点解析（譬如，f (z ) = z 5 /|z|4 ）。只滿足柯西-黎曼方程也是不夠的，（需額外滿足连续性），下面的例子表明了这一点：(Looman 1923 ，第107頁)
f
(
z
)
=
{
exp
(
−
z
−
4
)
i
f
z
≠
0
0
i
f
z
=
0
{\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp(-z^{-4})&\mathrm {if\ } z\not =0\\0&\mathrm {if\ } z=0\end{cases}}}
它处处满足柯西-黎曼方程，但在z =0不连续。
但是，如果一个函数在开集上以弱形式 满足柯西-黎曼方程，则函数解析。更精确的讲(Gray & Morris 1978 ，Theorem 9):
若f (z )在开域Ω⊂C 上局部可积，并以弱形式满足柯西-黎曼方程，则f 和Ω上的一个解析函数几乎处处 相等。 在多複变量 的理论中有对柯西-黎曼方程的恰当推广。他们组成一个偏微分方程的严重过约束系统 。通常的表述中，d-bar算子
∂
¯
{\displaystyle {\bar {\partial }}}
将全纯函数消零。这是
∂
f
∂
z
¯
=
0
{\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0}
的直接推广
其中
∂
f
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
f
∂
x
−
1
i
∂
f
∂
y
)
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}-{1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right).}
Ahlfors, Lars , Complex analysis 3rd, McGraw Hill, 19531979, ISBN 0-07-000657-1 d'Alembert, J. , Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides , Paris, 1752 [失效連結 Cauchy, A.L. , Mémoire sur les intégrales définies,, Oeuvres complètes Ser. 1 1 , Paris: 319–506, 18141882 Chanson, H., Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange." ('Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution.') , Journal La Houille Blanche, 2007, 5 : 127–131 [2008-09-03 ] , ISSN 0018-6368 doi:10.1051/lhb:2007072 存档 于2009-09-02） Dieudonné, Jean Alexander , Foundations of modern analysis, Academic Press, 1969 Euler, L. , Nova Acta Acad. Sci. Petrop., 1797, 10 : 3–19 Gray, J. D.; Morris, S. A., When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic? , The American Mathematical Monthly, 1978, 85 (4): 246–256April 1978 [2008-09-03 ] , （原始内容存档 于2018-09-07） Looman, H., Über die Cauchy-Riemannschen Differeitalgleichungen, Göttinger Nach., 1923: 97–108 Pólya, George ; Szegö, Gabor, Problems and theorems in analysis I, Springer, 1978, ISBN 3-540-63640-4 Riemann, B. , Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse, H. Weber (编), Riemann's gesammelte math. Werke, Dover: 3–48, 18511953 Rudin, Walter , Real and complex analysis 3rd, McGraw Hill, 19661987, ISBN 0-07-054234-1 Solomentsev, E.D., Cauchy–Riemann conditions , 数学百科全书 , EMS Press , 2001 （英语）
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