算术研究
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《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae)是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯於1798年写成的一本数论教材,在1801年他24岁时首次出版。全书用拉丁文写成。在这本书中高斯整理汇集了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在数论方面的研究结果,并加入了许多他自己的重要成果。
写作历史
[编辑]高斯在1796年就准备写一本数论的著作。一年後,他完成了初稿。1797年11月,高斯开始对初稿进行重写和修订,使之成为可以印刷出来的成熟版本。印刷工作於1798年4月开始,但由于机器的原因,速度缓慢。然而这也使得高斯有时间补充一些新的内容,特别是第五章的二次互反律的部分:1801年夏季最终出版时的长度已经是初稿时的两倍。[1]
主题
[编辑]《算术研究》包括了初等数论和现在称为代数数论领域的一部分。然而,高斯在书中并未认识到抽象代数的核心:群的概念,因此没有加以应用。高斯将这本书的主题定位为他所称的“高等算术”。在这本书的序言一开头,高斯明确地说到:
“ | 本书将要研究的问题属于数学中如下的一部分:其考虑的对象只限于整数,偶尔涉及分数,但绝对与无理数无关。[2] | ” |
内容
[编辑]全书有655页,分为七个部分共335篇文章,由浅入深,从同余理论起步,探讨了同余齐次式、同余方程和二次剩余理论。在二次剩余理论中,高斯在前人的基础上首次给出了二次互反律的证明。其后高斯又得出了双二次互反律和三次互反律,并对所谓的高斯整数进行了研究,得到了代数数论的一些基本成果[1]。
- 第一部分:同余概论。建立了到今天仍在使用的同余的概念和记号。
- 第二部分:主要研究线性同余方程,给出了算术基本定理、辗转相除法、中国剩余定理等初等数论的基本结果。
- 第三部分:“幂剩余论”。讨论了费马小定理、原根的存在性和威尔逊定理。
前三部分的内容大都是其他数学家的成果,但高斯是首个将这些成果系统地汇集在一本书裡的人。他也是首个意识到唯一分解定理之重要性的人。
进入第四部分後,大部分内容便是高斯的原创了。
- 第四部分:“二次同余论”。重点讨论了二次剩余的理论。高斯提出了他视为“从中可以推得几乎所有与二次剩余有关的东西”[3] 的“基础定理”的二次互反律:
- 如果p是形式为4n+1,那么p(如果p是形式为4n+3那么-p)是模每个为模p的二次剩余(非剩余)的质数的二次剩余(非剩余)。
- 高斯将这个命题分成多个单独情况,然后用归纳法给出了第一个证明,并运用这个定理得到了一些基本结果[1][2]。
- 第五部分: “二次型与二次不定方程”。这一部分占据了全书的一半有多[1],高斯研究了模p同余中的整系数二次型以及二次型本征等价的性质,得到了整数表示为二次形式的一般规律。之后高斯又研究了二次型的分类以及约简。并触及了双二次互反律和三次互反律的研究。
- 第六部分: 前五章结论的应用。前五章,特别是第四、五章得到的丰富成果使得在这章用来解决很多问题。高斯讨论了分数分解,十进展开以及二次同余的问题,并提出了两个素性检验的方法。
- 第七部分: 分圆多项式和尺规作图。高斯探求了尺规作圆内接正多边形的方法,并给出了圆内接正19边形和正17边形的作法。并得到了所谓的“高斯和”的概念以及一些相关成果[1]。
高斯曾经写过《算术研究》的第八部分,探讨更高次的同余方程,但并没能完成。草稿在他逝世後分批出版[1]。
影响
[编辑]在《算术研究》发表以前,数论研究只是一些孤立定理与猜想。高斯首次将这些零星的结果加以系统的处理,修补和改进了以往的证明,并在此之上发展出了自己的一系列理论与成果。《算术研究》是现代数论研究的开端[4]。
《算术研究》一书的逻辑结构——声明定理、给出证明,然后给出系理或推论——为以后的教科书编写提供了一个榜样,成了后世教材的标准结构。为了使读者能够理解证明的逻辑思路,高斯在证明后会给出相应的例子,这一点也为后来的教材所采用[1]。
《算术研究》亦是十九世纪欧洲数学家如库默尔、狄利克雷和戴德金等人著书的出发点。他们继承了高斯的研究。许多《算术研究》中的评注和没有证明的命题成为了新的研究热点。即使到了二十世纪,《算术研究》仍在产生影响。比如第五部分中高斯简要地叙述了他关于虚二次域类数的计算,并猜想他已经找到了所有类数为1、2和3的虚二次域。这个后来称为类数问题的猜想直到1986年才获得了肯定的答案[5]。同样在第五部分,高斯证明了可以被解释为黎曼猜想的第一类非平凡情况:哈斯-韦伊定理[6]。
译本和相关著作
[编辑]《算术研究》虽然是一部十分重要的数论著作,但由于全书以拉丁文写就,内容深奥难懂,因此将其翻译成各国语言和进行注释阐述的工作一直不断。1807年,《算术研究》的法文译本出版。1863年,狄利克雷写了《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlentheorie)一书,对《算术研究》作了明晰的阐释。1889年德文译本出版。1959年出版了俄文译本;1965年出版了英文版。
引用
[编辑]《算术研究》常常被引用,出现在各种数学论文、著作和教材的注释中。引用时一般简写为“DA”[1]。
评价
[编辑]- “高斯曾说:‘数学是科学的女皇,数论则是数学的女皇。’如果这是真理,我们还可以补充一点:《算术研究》是数论的宪章。”——莫里茲·康托爾
- “此书(《算术研究》)是一座不朽的丰碑,揭示了人类思想所能达到的浩瀚的广度和令人惊叹的深度。”——爱德华·卢卡斯
- “众书之王”——利奥波德·克罗内克
- “高斯首次将数学的这个部分(数论)变成了一门独立的科学,而《算术研究》则是第一部详尽而系统的著作。……由于雅可比和狄利克雷……这本二十年来一直被七道漆封的著作成为了当代的数学。……封漆还未完全解开。”——约翰·西奥多·梅兹
- “数论曾一度止步不前,……这就是为什么深奥而新颖的《算术研究》预示着高斯将成为欧洲最伟大的头脑之一。”——路易·潘索
参见
[编辑]注释及参考来源
[编辑]- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Catherine Goldstein; Norbert Schappacher, Joachim Schwermer. The Shaping of Arithmetic after C.F.Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. 施普林格出版社(Springer). 2007年. ISBN 3-540-20441-5 (英语).
- ^ 2.0 2.1 Carl Friedrich Gauss; Poullet-Delisle 译. Recherches Arithmetiques. 1807年 (法语).
- ^ DA,art.131:“...omnia fere quae de residuis quadraticis dici possunt, huic theoremati innituntur.”
- ^ 《算术研究》介绍. [2008-08-27]. (原始内容存档于2016-03-04).
- ^ Ireland, K.; Rosen, M., A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York, New York: Springer-Verlag: 358–361, 1993, ISBN 038797329X
- ^ Silverman, J.; Tate, J., Rational Points on Elliptic Curves, New York, New York: Springer-Verlag: 110, 1992, ISBN 0387978259
- Carl Friedrich Gauss tr. Arthur A. Clarke: Disquisitiones Aritmeticae, Yale University Press, 1965 ISBN 0-300-09473-6
- Disquisitiones Arithmeticae (页面存档备份,存于互联网档案馆)
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