圆锥坐标系

圆锥坐标系的几个坐标曲面。红色圆球面的 $r=2$ 。锥轴为 z-轴的蓝色圆锥面的 $\mu =\cosh(1)$ 。锥轴为 x-轴的黄色圆锥面 $\nu ^{2}=2/3$ 。z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑色的圆球表示），直角坐标大约为 $(1.26,\ -0.78,\ 1.34)$ 。

圆锥坐标系（英语：Conical coordinates）是一种三维正交坐标系。它的三个坐标曲面分别为同心圆球面，锥轴为 x-轴的圆锥面，锥轴为 z-轴的圆锥面。

基本定义

圆锥坐标 $(r,\ \mu ,\ \nu )$ 通常定义为

$x={\frac {r\mu \nu }{bc}}$ 、

$y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$ 、

$z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}$ ；

其中，$0\leq r<\inf$ ，$\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}$ 。

坐标曲面

$r$ 坐标曲面是圆心在原点的圆球面：

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ 。

$\mu$ 与 $\nu$ 坐标曲面是两个相交的圆锥面：

${\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0$ 、

${\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0$ 。

标度因子

如同球坐标系，径向坐标 $r$ 的标度因子是

$h_{r}=1$ 。

坐标$\mu$ 与 $\nu$ 的标度因子分别是

$h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}$ 、

$h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}$ 。

参考目录

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• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 183–184.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
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