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巴塔林-維爾可維斯基代數

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Batalin-Vilkovisky代數(Batalin–Vilkovisky formalism,簡稱BV代數)是Batalin和Vilkovisky在研究規範場量子化過程中發現的一種代數結構[1][2]。他們所提出的量子化方法(稱為BV formailism或者BV quantization),是一種十分普遍而且有效的量子化方法,正受到越來越多的量子場論學家和弦理論家的重視和應用,而BV代數也越來越受到數學家們的重視。

定義

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數域上的一個分次(graded)線性空間上的一個BV代數結構是三元組,滿足以下兩個關係:

  1. 上的分次、交換、結合的代數(algebra);
  2. 是關於二階微分算子,即的度數為1,,並且對任給的,

在上面的定義中,如果令

則可以驗證,形成一個Gerstenhaber代數。因此可以說,BV代數是一類特殊的Gerstenhaber代數。不僅如此,還是關於導子(derivation),即

使得形成一個微分分次李代數(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例子

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迄今為止所發現的BV代數的例子幾乎都與數學物理有關。

  1. 是一個奇的辛流形(odd symplectic manifold),記上光滑函數組成的集合。我們有形成一個分次交換結合的代數,記其乘法為。設上的一組Darboux坐標,令
    則可以驗證,形成一個BV代數,參見[3][4]
  2. 田剛(G. Tian)在關於卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的復結構形變空間是光滑的證明中,實際上證明了控制復結構形變的微分分次李代數是一個BV代數[5]
  3. B. Lian和G. Zuckerman證明了量子場論的數學背景(background,指從量子場論中抽象出來的代數結構)有一個BV代數結構[6]
  4. E. Getzler用不同於Lian和Zuckerman的方法證明,一個二維拓撲共形場論(TCFT,此處採用Segal的定義)的同調群有一個自然的BV代數結構[7]
  5. M. Chas和D. Sullivan證明,一個流形的自由環路空間(free loop space)的同調群上有一個BV代數結構[8]

背景

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正如上面所述,BV代數跟量子場論有密切的聯繫。事實上,對一些數學物理學家來說,一個量子場論就指一個BV代數以及其中一個元素,該元素滿足以下方程:

等價於

稱為Master方程,有時候必須滿足所謂的量子Master方程,即

另外,BV代數跟弦理論裡面的鏡像對稱(Mirror Symmetry)也有密切的關係。事實上,鏡像對稱的A模型B模型都有一個BV代數,而它們相應的Master方程的解空間上都有一個所謂弗羅貝尼烏斯流形的結構。鏡像對稱的一種表述就是,這兩個Frobenius流形是同構的。

BV代數的研究是目前數學特別是數學物理中一個比較活躍的領域,關於它的研究仍在進行之中。

參考文獻

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  1. ^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.
  2. ^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.
  3. ^ A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088
  4. ^ D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057
  5. ^ G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.
  6. ^ B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
  7. ^ E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.
  8. ^ M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.