巴塔林-維爾可維斯基代數

Batalin-Vilkovisky代數（Batalin–Vilkovisky formalism，簡稱BV代數）是Batalin和Vilkovisky在研究規範場的量子化過程中發現的一種代數結構。他們所提出的量子化方法（稱為BV formailism或者BV quantization），是一種十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越來越多的量子場論學家和弦理論家的重視和應用，而BV代數也越來越受到數學家們的重視。

定義

設$\;V\;$是數域$\;k\;$上的一個分次(graded)線性空間。$\;V\;$上的一個BV代數結構是三元組$\;(V,\bullet ,\Delta )\;$，滿足以下兩個關係：

1. $\;(V,\bullet )\;$是$\;k\;$上的分次、交換、結合的代數(algebra)；
2. $\;\Delta \;$是關於$\;\bullet \;$的二階微分算子，即$\;\Delta \;$的度數為1，$\;\Delta ^{2}=0\;$，並且對任給的$\;a,b,c\in V\;$,

$\;{\begin{matrix}\Delta (a\bullet b\bullet c)&=&\Delta (a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta (b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a\bullet b\bullet (\Delta c).\;\end{matrix}}$

在上面的定義中，如果令

$\;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta (a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;$

則可以驗證，$\;(V,\bullet ,[\;,\;])\;$形成一個Gerstenhaber代數。因此可以說，BV代數是一類特殊的Gerstenhaber代數。不僅如此，$\;\Delta \;$還是關於$\;[\;,\;]\;$的導子(derivation)，即

$\;\Delta [a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;$

使得$\;(V,[\;,\;],\Delta )$形成一個微分分次李代數(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例子

迄今為止所發現的BV代數的例子幾乎都與數學物理有關。

1. 設$\;M\;$是一個奇的辛流形(odd symplectic manifold)，記$\;C^{\infty }(M)\;$為$\;M\;$上光滑函數組成的集合。我們有$\;C^{\infty }(M)\;$形成一個分次交換結合的代數，記其乘法為$\;\bullet \;$。設$\;(x^{1},\cdots ,x^{n};\eta ^{1},\cdots ,\eta ^{n})\;$為$\;M\;$上的一組Darboux坐標，令
   $\;\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \eta ^{i}}},\;$
   則可以驗證，$\;(C^{\infty }(M),\bullet ,\Delta )\;$形成一個BV代數，參見；
2. 田剛(G. Tian)在關於卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的復結構的形變空間是光滑的證明中，實際上證明了控制復結構形變的微分分次李代數是一個BV代數；
3. B. Lian和G. Zuckerman證明了量子場論的數學背景(background，指從量子場論中抽象出來的代數結構)有一個BV代數結構；
4. E. Getzler用不同於Lian和Zuckerman的方法證明，一個二維拓撲共形場論(TCFT，此處採用Segal的定義)的同調群有一個自然的BV代數結構；
5. M. Chas和D. Sullivan證明，一個流形的自由環路空間(free loop space)的同調群上有一個BV代數結構。

背景

正如上面所述，BV代數跟量子場論有密切的聯繫。事實上，對一些數學物理學家來說，一個量子場論就指一個BV代數以及其中一個元素$\;S\;$，該元素滿足以下方程：

$\;\Delta e^{S}=0\quad {\Big (}\;$等價於$\;\Delta S+{\frac {1}{2}}[S,S]=0{\Big )},\;$

稱為Master方程，有時候$\;S\;$必須滿足所謂的量子Master方程，即

$\;\Delta e^{\frac {S}{\hbar }}=0.\;$

另外，BV代數跟弦理論裡面的鏡像對稱(Mirror Symmetry)也有密切的關係。事實上，鏡像對稱的A模型和B模型都有一個BV代數，而它們相應的Master方程的解空間上都有一個所謂弗羅貝尼烏斯流形的結構。鏡像對稱的一種表述就是，這兩個Frobenius流形是同構的。

BV代數的研究是目前數學特別是數學物理中一個比較活躍的領域，關於它的研究仍在進行之中。