數字和

一個整數的數字和，是將一數在特定記數系統中的每一個位數相加起來所得的和。例如，84001在十進制中的數字和是13，即 ${{{{{8}+{4}}+{0}}+{0}}+{1}}=13$ 。

這個概念與數字根有密切的關係，但並不相同，數字根是把所有數字相加起來所得的和，然後再把這個和的所有數字相加起來，又得到一個和，重複這個步驟，直到最終只剩下一個數字，這個數字便稱為數字根。數字和可以是任意正整數的值，而數字根只能是0到9。

在十進制中，數字和可以用來判斷一個數是否能被3或9整除。如果數字和能被3或9整除，則原來的數也能被3或9整除。可參照去九法、整除規則。

定義[編輯]

任何自然數都可以在底數為b下的進位制中表示，其中b的絕對值必須大於一。若有一自然數n，其於b進位制中表示為 ${\textstyle d_{k-1}d_{k-2}...d_{2}d_{1}d_{0}}$ ，則其數字和（或位數和） ${\textstyle F_{b}}$ 為將自然數映射到自然數的函數 ${\textstyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ ，其可以定義為：

F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}

其中 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ ，代表自然數n在底數為b的進位制表示時的位數個數。而每個位數 ${\textstyle d_{i}}$ 又可以表示成：

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}

舉例來說，84001在十進制中的數字和可以表示為 $F_{10}(84001)=\,$ ${{{{{8}+{4}}+{0}}+{0}}+{1}}=13$

此外，一個足夠大的數在較大底數進位制下的數字和不會小於較小底數進位制下的數字和，即兩底數 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ ，若 $2\leq b_{1}\leq b_{2}$ ，且有一個足夠大的自然數n，則滿足不等式 ${\textstyle F_{b_{1}}(n)\leq F_{b_{2}}(n)}$ ^[1]。

一般單個位的數（如十進制的0至9）其數字和即為自己本身。十進制下前幾個非負整數的數字和為：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...（OEIS數列A007953）

彼得·波爾文（英語：Peter_Borwein）和喬納森·波爾文（英語：Jonathan Borwein）使用此數列的母函數導出了許多快速收斂之有理和超越級數。^[2]

擴展到負整數[編輯]

負整數的數字和目前沒有一個廣泛被接受的定義。一般可以透過負整數的有符號數表示法（英語：Signed-digit_representation）來將自然數的數字和推廣到負數。

另一種適用於負數的數字和為僅將最高位數代負號，其他位數照樣相加的數字和，例如負一百五十八（ $-158$ ）可以拆成 $-1,\,5,\,8$ ，對應的數字和為 ${{{-{1}}+{5}}+{8}}=12$ ^[3]，這個數列為數字差（OEIS數列A274580）的相反數。

用途[編輯]

數字和雖與數字根不同，但皆可以用於3和9的整除判斷^[4]。數字和與數字根不同之處在於，數字根必為0至9之間的自然數，而數字和可以是任意整數。兩者用於判斷3或9的倍數的方法皆是若一數的數字和或數字根能被3或9整除，則其為3或9的倍數^[4]。特別地，對於判定9的倍數，此規則稱為「九的規則」，為去九法的基礎^[5]。

在早期的電腦中，亦常使用數字和作為檢查計算機計算結果的一種常見方式^[6]。此外數字和亦可以作為生成隨機數的一種方式。假設所使用的數表中每個數字都是隨機的，則根據中心極限定理，這些數的數字和可以視為具有接近高斯分佈的隨機分佈。而早期在計算機還沒被發明、使用手工計算時Edgeworth曾於1888年建議可以透過取對數的數學用表中50位數字之和作為隨機數生成的一種方式^[7]。

列表[編輯]

下表列出了數字和為特定數的自然數：

數字和	數	OEIS	哈沙德數	素數
1	1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, …	A011557
2	2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, …	A052216	A069537	2,11,101
3	3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, 1002, …	A052217
4	4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130, 202, 211, …	A052218	A063997	A062339
5	5, 14, 23, 32, 41, 50, 104, 113, 122, 131, 140, 203,	A052219	A069540	A062341
6	6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, …	A052220	A062768
7	7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 106, 115, 124, 133, 142, …	A052221	A063416	A062337
8	8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 107, 116, 125, 134, …	A052222	A069543	A062343
9	9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, 135, …	A052223
10	19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 109, 118, 127, 136, …	A052224	A218292	A107579
11	29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 119, 128, 137, 146, 155, …	A166311	A216995	A106754
12	39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 129, 138, 147, 156, 165, …	A235151