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三角函數線

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三角函數線是正弦線、餘弦線和正切線的總稱,是三角函數幾何表示。

三角函數線,角α的所有三角函數在幾何上可以依據以O點為圓心的單位圓來構造。

由於與點Px, y在終邊上的位置無關,為簡單起見,選取角α的終邊 與單位圓的交點為Px, y,則sin α = y, cos α = x

過點Px軸的垂線,垂足為M,顯然,線段OM的長度為 |x|,為了去掉絕對值符號,我們引入有向線段的概念[1]

有向線段

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規定了方向(起點和終點)的線段稱為有向線段(與向量有區別),類似地可以把規定了正方向的直線稱為有向直線。若有向線段AB在有向直線l上或與有向直線l平行,根據有向線段AB與有向直線l的方向相同或相反,分別把它的長度添上正號或負號,這樣所得的數,叫做有向線段的數量,記為AB

正弦線和餘弦線

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引入有向線段的概念後,如果x > 0,如圖,有向線段OMx軸同向,其數量為x,如果x < 0,有向線段OMx軸反向,其數量也為x,故總有OM = x。同理可知MP = y

所以有,sin α = MP, cos α = OM

即有向線段MPOM的數量分別等於α的正弦、α的餘弦。因此,我們把有向線段MPOM分別叫作角α正弦線餘弦線

正切線

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當角α的終邊在y軸的右側時(如左圖),在角α的終邊上取點T(1, y​',則A為單位圓與x軸正半軸的交點)

當角α終邊在y軸左側時(如右圖),在角α的終邊的反向延長線上取點T(1, y​'由於它關於原點的對稱點Q(−1, −y​'在角α的終邊上,故有

即總有tan α = AT

因此,我們把有向線段AT叫做角α的正切線

終邊在y軸右側的正切線終邊在y軸左側的正切線

參考資料

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  1. ^ 《数学 必修4》. 江蘇教育出版社. : 12~13. ISBN 978-7-5343-6225-5 (中文(簡體)).