在数学 中，数学巧合 指的是两个数学表达式 的值极为接近，却未有任何理论解释的现象。
例如，2 的10次方非常接近于整数1000 ：
2
10
=
1024
≈
1000
=
10
3
{\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}}
工程学 中有时会利用数学巧合，使用某个表达式去近似 计算另一个表达式。
在某些情况下，用简单的有理数 近似可以极其逼近某个无理数 。大部分这类巧合可以用无理数的连分数 表示法来解释；但是，若要进一步探究连分数展开中出现的不寻常大项，则有时是无法通过理论解释的。
圆周率 π 的第一个连分数 近似——[3; 7] = 22/7 = 3.1428...，由阿基米德 给出，误差约为0.04%。π 的连分数近似的前三项——[3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3.1415929...，由祖冲之 给出[ 1] [ 2] π 之所以会在连分数近似的第三项达到如此高精确度是因为连分数表示[3; 7, 15, 1, 292, ...]中的下一项——292——是不寻常的大项[ 3]
π
≈
4
/
φ
=
3.1446
…
{\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3.1446\dots }
黄金分割率 。此式与开普勒三角 有关。有人认为胡夫金字塔 的建造利用了一个或多个数学巧合，但不是刻意为之的可能性更大[ 4]
π
≈
6
5
φ
2
{\displaystyle \pi \approx {\frac {6}{5}}\varphi ^{2}}
位于圆周率小数点后第762位的连续的六个9 。对于一个随机选取的正规数 ，能在小数点后762位就出现一组特别的六位数字的概率只有0.08%[ 5] π 是否是一个正规数还不为人知。 1828这一串数字在e
在1828后，459045为小数点后第10~15位，到此仍近似于有规律的有理数 。
e 的前50万位中出现了一串“99999999”（8个9）[ 6]
2
10
=
1024
≈
1000
=
10
3
{\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}}
log
10
log
2
≈
3.3219
≈
10
3
{\displaystyle \textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3.3219\approx {\frac {10}{3}}}
2
≈
10
3
/
10
{\displaystyle 2\approx 10^{3/10}}
功率 比为1：2的信号，分贝 数大约有-3 dB的差异（准确值为3.0103 dB，见半功率点 KiB 与 KB （见二进制乘数词头 ）[ 7] [ 8]
2
7
=
128
≈
125
=
5
3
{\displaystyle 2^{7}=128\approx 125=5^{3}}
log
5
log
2
≈
2.3219
≈
7
3
{\displaystyle \textstyle {\frac {\log 5}{\log 2}}\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3}}}
2
≈
5
3
/
7
{\displaystyle 2\approx 5^{3/7}}
摄影 中，可以应用此近似估计相机的设置：如果曝光时间 从1秒减少为1/125秒，若要保持曝光值 不变，可以光圈 转动7格（stop）；由于光圈环转动一格，照度 相差一倍，7格光圈对应的就是照度
2
7
=
128
{\displaystyle 2^{7}=128}
[ 9] 倒易律 的要求。
2
7
/
12
≈
3
/
2
{\displaystyle 2^{7/12}\approx 3/2}
十二平均律 用7个半音 来近似五度相生律 的纯五度 即为此数学巧合的应用[ 9]
2
8
≈
3
5
{\displaystyle 2^{8}\approx 3^{5}}
2
19
≈
3
12
{\displaystyle 2^{19}\approx 3^{12}}
2
2
9
≈
12
12
2
{\displaystyle 2^{2^{9}}\approx 12^{12^{2}}}
π
2
≈
10
{\displaystyle \pi ^{2}\approx 10}
[ 10] ζ函数 的公式
ζ
(
2
)
=
π
2
/
6
{\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}
[ 11]
π
2
≈
227
/
23
{\displaystyle \pi ^{2}\approx 227/23}
π
3
≈
31
{\displaystyle \pi ^{3}\approx 31}
π
5
≈
306
{\displaystyle \pi ^{5}\approx 306}
π
3
+
1
5
≈
2
{\displaystyle {\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\approx 2}
π
≈
(
9
2
+
19
2
22
)
1
/
4
{\displaystyle \pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}}
22
π
4
≈
2143
{\displaystyle 22\pi ^{4}\approx 2143}
拉马努金 的《Quarterly Journal of Mathematics》, XLV, 1914, pp. 350–372）。拉马努金写道，这是通过“经验性地获得的”关于
π
{\displaystyle \pi }
2143
22
4
=
3.1415926525
…
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525\dots }
306
5
=
3.14155
…
{\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155\dots }
17305
18
6
=
3.1415924
…
{\displaystyle {\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18}}}=3.1415924\dots }
21142
7
7
=
3.14159
…
{\displaystyle {\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7}}}=3.14159\dots }
294204
11
=
3.1415926
…
{\displaystyle {\sqrt[{11}]{294204}}=3.1415926\dots }
26487841119103
27
=
3.14159265358979
…
{\displaystyle {\sqrt[{27}]{26487841119103}}=3.14159265358979\dots }
一些貌似合理的近似甚至达到了极高的精确度，但仍然只是一种数学巧合。例如：
∫
0
∞
cos
(
2
x
)
∏
n
=
1
∞
cos
(
x
n
)
d
x
≈
π
8
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}}
式子的两边直到小数点后第42位才有所不同[ 12] [ 注 1]
π
4
+
π
5
≈
e
6
{\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\approx e^{6}}
3
3
e
π
4
≈
5
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi }}}\approx 5}
3
π
+
e
4
≈
5
{\displaystyle {3}^{\frac {\pi +e}{4}}\approx 5}
e
π
−
π
≈
19.99909998
{\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 19.99909998}
(
π
+
20
)
i
=
−
0.9999999992
…
−
i
⋅
0.000039
…
≈
−
1
{\displaystyle (\pi +20)^{i}=-0.9999999992\ldots -i\cdot 0.000039\ldots \approx -1}
[ 13]
π
3
2
/
e
2
3
=
9.9998
…
≈
10
{\displaystyle \pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9.9998\ldots \approx 10}
e
−
π
9
+
e
−
4
π
9
+
e
−
9
π
9
+
e
−
16
π
9
+
e
−
25
π
9
+
e
−
36
π
9
+
e
−
49
π
9
+
e
−
64
π
9
=
1.00000000000105...
≈
1
{\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{9}}}+e^{-4{\frac {\pi }{9}}}+e^{-9{\frac {\pi }{9}}}+e^{-16{\frac {\pi }{9}}}+e^{-25{\frac {\pi }{9}}}+e^{-36{\frac {\pi }{9}}}+e^{-49{\frac {\pi }{9}}}+e^{-64{\frac {\pi }{9}}}=1.00000000000105...\approx 1}
163
⋅
(
π
−
e
)
≈
69
{\displaystyle {163}\cdot (\pi -e)\approx 69}
163
ln
163
≈
2
5
{\displaystyle {\frac {163}{\ln 163}}\approx 2^{5}}
拉马努金常数 ：
e
π
163
≈
(
2
6
⋅
10005
)
3
+
744
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744}
2.9
⋅
10
−
28
%
{\displaystyle 2.9\cdot 10^{-28}\%}
夏尔·埃尔米特 发现[ 14]
ln
2
≈
(
2
5
)
2
5
{\displaystyle \ln 2\approx \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}}
log
2
(
log
2
3
)
≈
2
3
{\displaystyle \log _{2}(\log _{2}3)\approx {\frac {2}{3}}}
偶然对消 [ 15]
16
64
=
1
⧸
6
⧸
64
=
1
4
{\displaystyle \,{\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!\!\not 6}{\not 64}}={\frac {1}{4}}}
26
65
=
2
⧸
6
⧸
65
=
2
5
{\displaystyle {\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!\!\not 6}{\not 65}}={\frac {2}{5}}}
19
95
=
1
⧸
9
⧸
95
=
1
5
{\displaystyle {\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!\!\not 9}{\not 95}}={\frac {1}{5}}}
49
98
=
4
⧸
9
⧸
98
=
4
8
{\displaystyle {\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!\!\not 9}{\not 98}}={\frac {4}{8}}}
弗里德曼数 ：
127
=
−
1
+
2
7
{\displaystyle \,127=-1+2^{7}}
(
3
+
4
)
3
=
343
{\displaystyle \,(3+4)^{3}=343}
[ 16]
2
5
⋅
9
2
=
2592
{\displaystyle \,2^{5}\cdot 9^{2}=2592}
[ 17] 水仙花数 [ 18]
1
3
+
5
3
+
3
3
=
153
{\displaystyle \,1^{3}+5^{3}+3^{3}=153}
3
3
+
7
3
+
0
3
=
370
{\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+0^{3}=370}
3
3
+
7
3
+
1
3
=
371
{\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+1^{3}=371}
4
3
+
0
3
+
7
3
=
407
{\displaystyle \,4^{3}+0^{3}+7^{3}=407}
666 :
sin
(
666
∘
)
=
cos
(
6
⋅
6
⋅
6
∘
)
=
−
φ
/
2
{\displaystyle \,\sin(666^{\circ })=\cos(6\cdot 6\cdot 6^{\circ })=-\varphi /2}
φ
{\displaystyle \varphi }
黄金分割率 [ 19]
ϕ
(
666
)
=
6
⋅
6
⋅
6
{\displaystyle \,\phi (666)=6\cdot 6\cdot 6}
ϕ
{\displaystyle \phi }
欧拉函数 。生日问题 中的
λ
=
1
365
(
23
2
)
=
253
365
{\displaystyle \lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}}
ln
(
2
)
{\displaystyle \ln(2)}
[ 20]
31
{\displaystyle \,31}
331
{\displaystyle 331}
3331
{\displaystyle 3331}
33331
{\displaystyle 33331}
333331
{\displaystyle 333331}
3333331
{\displaystyle 3333331}
33333331
{\displaystyle 33333331}
333333331
=
17
⋅
19607843
{\displaystyle 333333331=17\cdot 19607843}
123456789
⋅
8
=
987654312
{\displaystyle 123456789\cdot 8=987654312}
2646798
=
2
1
+
6
2
+
4
3
+
6
4
+
7
5
+
9
6
+
8
7
{\displaystyle \,2646798=2^{1}+6^{2}+4^{3}+6^{4}+7^{5}+9^{6}+8^{7}}
[ 21]
3
3
+
4
4
+
3
3
+
5
5
=
3435
{\displaystyle \,3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=3435}
(
8
+
1
)
2
=
81
{\displaystyle \,(8+1)^{2}=81}
(
4
+
9
+
1
+
3
)
3
=
4,913
{\displaystyle \,(4+9+1+3)^{3}=4{,}913}
(
5
+
8
+
3
+
2
)
3
=
5,832
{\displaystyle \,(5+8+3+2)^{3}=5{,}832}
(
1
+
9
+
6
+
8
+
3
)
3
=
19,683
{\displaystyle \,(1+9+6+8+3)^{3}=19{,}683}
[ 22]
588
2
+
2353
2
=
5882353
{\displaystyle \,588^{2}+2353^{2}=5882353}
1
/
17
=
0.0588235294117647
…
{\displaystyle \,1/17=0.0588235294117647\ldots }
10
!
=
6
!
⋅
7
!
=
1
!
⋅
3
!
⋅
5
!
⋅
7
!
{\displaystyle \,10!=6!\cdot 7!=1!\cdot 3!\cdot 5!\cdot 7!}
[ 23]
1
!
+
4
!
+
5
!
=
145
{\displaystyle \,1!+4!+5!=145}
[ 24] 光速 的定义之所以是299,792,458 m/s（非常接近300,000,000 m/s的一个值），是因为一米 的最初定义是通过巴黎 的子午线 上从地球赤道 到北极点 距离的千万分之一[ 25] 光秒 的2/15[ 26] 英尺 每纳秒 （准确值为0.9836 ft/ns）。
地球的极直径约为5亿英尺 ，误差约为0.1%[ 27]
虽然地球的重力加速度 会随着纬度 和海拔 的不同而变化，但其值在9.74m/s2 与9.87m/s2 之间，接近10m/s2 。因此，根据牛顿第二定律 ，一千克 物体在地球表面受到的重力约为10牛顿 [ 28] π 的平方接近10有关。米 的一个早期定义是将半周期 为一秒 的单摆 的摆长定义为一米。由于当摆角较小时，单摆的周期公式为：
T
≈
2
π
L
g
{\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
在这个定义下，重力加速度就会和 π 的平方相等[ 29]
另外，重力加速度的估计值9.8 m/s2 等于1.03 光年 /年2 ；这是一个非常接近1的值。
里德伯常量 乘上光速 的值接近于
π
2
3
×
10
15
Hz
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}\ {\text{Hz}}}
3.2898
_
41960364
(
17
)
×
10
15
Hz
=
R
∞
c
{\displaystyle {\underline {3.2898}}41960364(17)\times 10^{15}\ {\text{Hz}}=R_{\infty }c}
[ 30]
3.2898
_
68133696
…
=
π
2
3
{\displaystyle {\underline {3.2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}}
一英里 的立方约等于
4
3
π
{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi }
公里 的立方（误差约为0.5%），意味着一个半径为 n 公里的球体与边长为 n 英里的立方体的体积几乎相等[ 31]
精细结构常数
α
{\displaystyle \alpha }
1
137
{\displaystyle {\frac {1}{137}}}
α
=
1
137.035999074
…
{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{137.035999074\dots }}}
值得注意的是，因为
α
{\displaystyle \alpha }
无量纲量 ，所以这一巧合与人为选定的单位 系统无关。
^ 这个对于cos函数的上限无穷的积分看似是发散的，但实际上，可以证明
∫
0
∞
cos
(
2
x
)
∏
n
=
1
∞
cos
(
x
n
)
d
x
<
π
8
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x<{\frac {\pi }{8}}}
[ 12]
^ Yoshio Mikami. Development of Mathematics in China and Japan . B. G. Teubner. 1913: 135. ^ Petr Beckmann. A History of Pi . Macmillan. 1971: 101, 170. ISBN 978-0-312-38185-1 ^ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics . CRC Press. 2003: 2232. ISBN 978-1-58488-347-0 ^ Roger Herz-Fischler. The Shape of the Great Pyramid . Wilfrid Laurier University Press. 2000: 67. ISBN 978-0-889-20324-2 ^ Arndt, J. & Haenel, C., Pi — Unleashed, Berlin: Springer: 3, 2001, ISBN 3-540-66572-2 ^ The Number e to 1 Million Digits . NASA. [14 February 2017] . （原始内容存档 于2017-07-02）. ^ Ottmar Beucher. Matlab und Simulink . Pearson Education. 2008: 195. ISBN 978-3-8273-7340-3 ^ K. Ayob. Digital Filters in Hardware: A Practical Guide for Firmware Engineers . Trafford Publishing. 2008: 278. ISBN 978-1-4251-4246-9 ^ 9.0 9.1 Manfred Robert Schroeder. Number theory in science and communication 2nd. Springer. 2008: 26–28. ISBN 978-3-540-85297-1 ^ Frank Rubin, The Contest Center – Pi （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）.
^ Why is
π
2
{\displaystyle \pi ^{2}}
（页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）, Noam Elkies ^ 12.0 12.1 David H. Bailey; Jonathan M. Borwein; Vishaal Kapoor; Eric W. Weisstein. Ten Problems in Experimental Mathematics (PDF) . 2006-03-09 [2017-11-08 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2017-08-08）. ^ Weisstein, Eric W. (编). Almost Integer . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Barrow, John D. The Constants of Nature . London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6 ^ Weisstein, Eric W. (编). Anomalous Cancellation . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Prime Curios!: 343 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）.^ Erich Friedman, Problem of the Month (August 2000) （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）.
^ （OEIS 数列A005188 ）
^ Weisstein, Eric W. (编). Beast Number . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Arratia, Richard; Goldstein, Larry; Gordon, Louis. Poisson approximation and the Chen-Stein method . Statistical Science. 1990, 5 (4): 403–434. JSTOR 2245366 MR 1092983 doi:10.1214/ss/1177012015 ^ （OEIS 数列A032799 ）
^ （OEIS 数列A061209 ）
^ Harvey Heinz, Narcissistic Numbers 页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）.
^ （OEIS 数列A014080 ）
^ ('decimalization is not of the essence of the metric system; the real significance of this is that it was the first great attempt to define terrestrial units of measure in terms of an unvarying astronomical or geodetic constant.) The metre was in fact defined as one ten millionth of one quarter of the earth's circumference at sea-level.' Joseph Needham, Science and Civilisation in China, Cambridge University Press, 1962 vol.4, pt.1, p.42.
^ Michon, Gérard P. Numerical Coincidences in Man-Made Numbers . Mathematical Miracles. [29 April 2011] . （原始内容存档 于2017-10-22）. ^ Smythe, Charles. Our Inheritance in the Great Pyramid . Kessinger Publishing. 2004: 39. ISBN 1-4179-7429-X ^ Cracking the AP Physics B & C Exam, 2004–2005 Edition . Princeton Review Publishing. 2003: 25. ISBN 0-375-76387-2 ^ What Does Pi Have To Do With Gravity? . Wired. March 8, 2013 [October 15, 2015] . （原始内容存档 于2017-11-10）. ^ Rydberg constant times c in Hz . Fundamental physical constants. NIST. [25 July 2011] . （原始内容 存档于2017-12-25）. ^ Randall Munroe. What If?. 2014: 49. ISBN 9781848549562
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\approx 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3c8d13d92ef2197d2a7cc2d4ecfb150128451e)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed66a2d8ba15cffbf88dfc0093b90cc4fcba1ffd)
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39059ddbe05c3b612fcb3020e229fdc7df41f70)
![{\displaystyle {\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18}}}=3.1415924\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce6b19d94b871ac4eee42a67b7052b391ce36a9)
![{\displaystyle {\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7}}}=3.14159\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0571ef9e5cf977b67aea645961736ca72065b0fc)
![{\displaystyle {\sqrt[{11}]{294204}}=3.1415926\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfd1d4dd22e65627b1b6cd3833cc0fab113bfe0)
![{\displaystyle {\sqrt[{27}]{26487841119103}}=3.14159265358979\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f942164b7eaf54e3fa2a0dc813cc9af02e63f6)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi }}}\approx 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd85f754b32d3dd0f4b34ba9888643fa620ae56f)
