本頁使用了標題或全文手工轉換

代數數體

維基百科,自由的百科全書
跳至導覽 跳至搜尋

代數數體數學代數數論的基本概念,數體的一類,有時也被簡稱為數體,指有理數有限擴張形成的擴張體[1][2]。任何代數數體都可以視作上的有限維向量空間

對代數數體的研究,或者更一般地說,對有理數體的代數擴張的研究,是代數數論的中心主題。

定義[編輯]

預備知識[編輯]

代數數體是的一類。體是裝備了兩個二元運算(通常稱之為「加法」、「乘法」)的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律交換律,完全可逆,同時乘法對加法滿足分配律(詳細定義參見)。體的一個重要的例子是有理數體

體的擴張

體的擴張研究各類體之間的關係,最早的應用包括多項式方程式一般求根公式問題等。在給定的體F中加入不屬於此體的元素(一般以集合S紀錄),規定相互間的運算法則後,「最小的」將它們都包含在內的體[N 1]L稱為「F(添加S中元素得到)的擴張體」。稱FL的子體。一般將「FL的體擴張」記作FLL/F

向量空間

另一個基礎概念是向量空間。向量空間,特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣(具體定義參見向量空間條目)。以某個體F為係數體的向量空間(通常稱作F上的向量空間或F-向量空間),其中的向量除了可以相加減,還可以乘以F中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件,稱為空間的。選定了空間的基以後,空間裡的任何向量都可以表達為以F中元素組成的有序數組。其中的n是基中向量的個數,也稱為空間的維數。

有限擴張

L是體F的一個擴張體。將L中的元素看作向量,以F作為係數體,可以證明L是一個F-向量空間。如果這個向量空間是有限維的,就稱LF的有限擴張。L作為F-向量空間的維數,稱為擴張的次數,記作[L : F]

定義[編輯]

若體L是有理數體的有限擴張,則稱之為代數數體[3]:3

例子[編輯]

最小最基本的代數數體是有理數體。因為自身是-向量空間,維數是1。因此自身的體擴張,

高斯有理數i虛數單位)是數學家發現的第一個非平凡代數數體的例子,它是所有形同:

的數構成的集合。可以證明,是體,而且是-向量空間,以為基,空間維數是2。所以的二次擴張,

給定不是完全平方數正整數相反數不是完全平方數的負整數d二次體中添加 d平方根而得的擴張體。與高斯有理數體類似,可以證明-向量空間,以為基,空間維數是2,即

考慮多項式方程式n個複根,它們被稱做n次單位根,具體可以寫作:

中添加得到的擴張體稱為n次分圓體,記作。可以證明是有限維-向量空間,維數為是數論中的歐拉函數),即

實數體複數體p進數體都不是的有限擴張,因此都不是代數數體。任何有限體都不是的擴張體,因此也不是代數數體。

全體規矩數構成的體和全體代數數構成的體(有時也被簡稱為代數數體,與本文主題同名,但不是同一個概念)不是的有限擴張,因此都不是代數數體。

代數數體與代數數[編輯]

代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式(不是零多項式)的根的數。顯然所有的有理數都是代數數[N 2]。給定一個代數數體L,依定義,體擴張是有限擴張。設其次數為正整數m[N 3]。將L看作是m-向量空間,在L中任意選一個不屬於的數z,它可以被看作是m-向量空間中的一個(非零)向量。考慮以下的m + 1個向量:

它們都屬於L。根據向量空間的性質,它們是線性相依的。即存在不全為零的m + 1個有理數:,使得:

.

考慮非零多項式,即z是多項式的根。所以z是代數數。由上可知,任一代數數體的元素都是代數數。

代數整數[編輯]

代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數[3]:4。顯然代數整數是一種代數數。任何整數n都是一次整係數多項式X - n的根,因此是代數整數。給定代數數體FF中所有代數整數構成一個,稱作F中的(代數)整數環,也稱為F-整數環,記作。例如上的代數整數環就是,因此在代數數體研究中也被稱作「有理整數」(有理數體中的整數),以區別於其餘的代數整數。

代數數體F中的整數環有不同的代數性質。不一定是唯一分解整環。舉例來說,設F中的整數環是都是中的「質數」[N 4]。正整數6,作為中的元素,它的質因數分解有兩種方式:

有理整數的唯一分解性質在不少代數數體的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補,由此發展出理想理論[4]。代數數論中一個重要的事實是:的每個理想都可以唯一表示為質理想的乘積,即為戴德金整環。這種「理想的唯一素分解」可部分彌補「代數整數一般不能唯一質因子分解」的不足,在歷史上使代數數論發展起來[2]

代數數體的基[編輯]

整數基[編輯]

Fn次代數數體,F的整數基是任一由nF-整數組成的集合:

使得任一個F-整數x都能唯一地表示為這nF-整數的整線性組合[N 5],即:

,使得

換句話說,整數基B作為自由-的基。給定F的一組整數基B,可以證明,所有F中元素x都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合,即:

,使得

這說明BF作為n-向量空間的一組基。而且由於B中元素都是F-整數,故B名為整數基。此外可以證明,xF-整數若且唯若所有都是有理整數。

乘冪基[編輯]

Fn次代數數體。作為n-向量空間,F包含如下形式的基:

其中每個元素都是某個特定的數β乘冪。根據體擴張理論中的本原元定理,這樣的β一定存在,稱為體擴張的本原元。如果β不僅是本原元,還是F-整數,那麼這時B也是整數基,稱作乘冪整數基,稱F單衍體monogenic field)。

參見[編輯]

注釋[編輯]

  1. ^ 「最小的」指所有同時包含FS的體的交集
  2. ^ 任意有理數q都是一次多項式X - q的根。
  3. ^ 此處假設這個體擴張不是平凡的,即L不是自身,也即是說假設m大於1。
  4. ^ 即不能表示成另兩個中的不等於1或-1的數的乘積,正式名稱為不可約元素或質元素。
  5. ^ 在不計順序的情況下。

參考來源[編輯]

  1. ^ 藍以中. 《高等代數簡明教程》 第二版. 北京大學出版社. 2007年7月: 9. ISBN 978-7-301-05370-6. 
  2. ^ 2.0 2.1 張賢科. 代數數論介紹. 清華大學 數學科學系. [2014-05-26]. 
  3. ^ 3.0 3.1 David Hilbert. The Theory of Algebraic Number Fields. Springer(插圖版). 1998. ISBN 9783540627791. 
  4. ^ 康明昌. 費馬問題. 數學傳播. 第7卷第4期, 第8卷第1期.