功率 (英語:power )定義為能量 轉換或使用的速率,以單位時間 的能量大小來表示,即是作功 的率 。功率的國際標準制 單位是瓦特 (W),名稱是得名於十八世紀的蒸汽引擎 設計者詹姆斯·瓦特 。燈泡在單位時間內,電能轉換為熱能及光能的量就可以用功率表示,瓦特數越高表示單位時間用的能力(或電力)越高[ 1] [ 2] [ 3] 。
能量轉換可以作功 ,功率也是作功的速率。當一個人搬著一重物爬了一層的樓梯,不論他是慢慢的走上樓梯或是快跑上樓梯,對重物作的功是相等的,但若考慮其功率,快跑上樓梯會在較短的時間內對物體作相同大小的功,因此其功率較大。馬達的輸出功率是其馬達產生的轉矩及馬達角速度的乘積,而車輛前進的功率是輪子上的牽引力及車輛速度的乘積。
功率是能量除以時間。國際標準制 的功率單位是瓦特 (W),等於一焦耳 每秒。其他功率單位包括爾格 每秒(erg/s)、馬力 (hp)、公制馬力及英尺-磅力 每分。一馬力等於33,000英尺-磅力每分,也就是一秒鐘將550磅 的重物提高一英尺所需的功率,約等於746瓦特。其他單位包括:
分貝毫瓦 (dBm),是以一毫瓦為基準的對數值。
卡 每小時(或是千卡 每小時)。
英熱單位 每小時(Btu/h)。
冷凍噸 (12,000 Btu/h):常用在冷氣或空調系統。
考慮一個簡單的例子,燃燒一公斤的煤 放出的能量比引爆一公斤的三硝基甲苯 要高[ 4] ,但因為引三硝基甲苯釋放能量的速率比燃燒煤要快很多,因此其產生的功率較大。若令
Δ
W
{\displaystyle \Delta W}
是在
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
時間內所作的功,則這段時間內的平均功率
P
avg
{\displaystyle P_{\text{avg}}}
由下式給出:
P
avg
=
Δ
W
Δ
t
{\displaystyle P_{\text{avg}}={\frac {\Delta W}{\Delta t}}}
其中P為功率,W為功,t為時間。
瞬時功率 是指時間
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
趨近於0時的平均功率:
P
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
W
Δ
t
=
d
W
d
t
{\displaystyle P=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta W}{\Delta t}}={\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}t}}}
若瞬時功率
P
{\displaystyle P}
為定值,則一段長度為
T
{\displaystyle T}
的時間之內所作的功可以用下式表示:
W
=
P
T
.
{\displaystyle W=PT\,.}
在討論能量轉換問題時,有時用字母
E
{\displaystyle E}
代替
W
{\displaystyle W}
。
在力學中,在某物體上力所做的功 由下式給出:
W
=
F
⋅
d
{\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {d} }
其中F 為作用力,d 為位移 向量。
功對時間求導 即得到瞬時功率,也即力 與速度 的點積 :
P
(
t
)
=
F
(
t
)
⋅
v
(
t
)
{\displaystyle P(t)=\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)}
故平均功率為:
P
a
v
g
=
1
Δ
t
∫
F
⋅
v
d
t
{\displaystyle P_{avg}={\frac {1}{\Delta t}}\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \;\mathrm {d} t}
在轉動運動的系統中,功率與力矩 和角速度 有關:
P
(
t
)
=
τ
⋅
ω
{\displaystyle P(t)={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}}
故此時平均功率為
P
a
v
g
=
1
Δ
t
∫
τ
⋅
ω
d
t
{\displaystyle P_{avg}={\frac {1}{\Delta t}}\int {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\mathrm {d} t}
.
在流體力學 中,功率與壓力 和體積流量 有關:
P
=
p
⋅
Q
{\displaystyle P=p\cdot Q}
其中p 是壓力(以帕斯卡作為單位),Q 是體積流量(以m3 /s立方米每秒作為單位)。
若力學系統沒有損失,則其輸入功率等於輸出功率,因此可以推導系統的機械效益 ,也就是輸出力和輸入力的比值。
令系統的輸入功率為大小為FA 的力,作用在一個移動速度為vA 的點,而其輸出功率為大小為FB 的力,作用在一個移動速度為vB 的點,假設系統無損失,則
P
=
F
A
v
A
=
F
B
v
B
,
{\displaystyle P=F_{A}v_{A}=F_{B}v_{B},\!}
系統的機械效益為
M
A
=
F
B
F
A
=
v
A
v
B
.
{\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {v_{A}}{v_{B}}}.}
在旋轉系統中也可以推得類似的公式,其中TA 及ωA 為輸入到系統的轉矩及角速度,TB 及ωB 為系統輸出的轉矩及角速度,假設系統無損失,則
P
=
T
A
ω
A
=
T
B
ω
B
,
{\displaystyle P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B},\!}
因此機械效益為
M
A
=
T
B
T
A
=
ω
A
ω
B
.
{\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.}
上述關係的重要性在於可以根據系統的尺寸推算其速度比 ,再依速度比定義最佳性能,像齒輪比 就是一個例子。
在光學 或輻射度量學 中,功率有時會指輻射通量 ,由電磁輻射傳遞能量的平均速率,單位也是瓦特 。
在光學中的光學倍率 (Optical power)有時也會簡稱power,是指透鏡 或其他光學儀器屈光的能力,單位是屈光度 (反米),等於光學儀器焦距 的反比。
一個元件的瞬時電功率由下式給出:
P
(
t
)
=
V
(
t
)
I
(
t
)
{\displaystyle P(t)=V(t)I(t)}
其中
I
(
t
)
{\displaystyle I(t)}
或
I
{\displaystyle I}
為電流 ,
V
(
t
)
{\displaystyle V(t)}
或
V
{\displaystyle V}
為元件兩端的電位差 。[ 5]
若元件為線性元件 ,即電壓 與電流 之比不隨時間變化,也即服從歐姆定律 ,則有:
P
=
V
I
=
I
2
R
=
V
2
R
{\displaystyle P=VI=I^{2}R={\frac {V^{2}}{R}}}
其中
R
=
V
I
{\displaystyle R={V \over I}}
為元件的電阻。[ 5]
對於交流電 的情況,參見交流電功率 。
在理想脈波中,瞬時功率是時間的週期函數。脈波持續時間的比例等於平均功率除以峰值功率的比例,此比例稱為占空比
若是週期為
T
{\displaystyle T}
的週期信號
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
,像是一連串的理想脈波,其瞬時功率
p
(
t
)
=
|
s
(
t
)
|
2
{\displaystyle p(t)=|s(t)|^{2}}
也是週期為
T
{\displaystyle T}
的週期函數。其峰值功率為:
P
0
=
max
[
p
(
t
)
]
{\displaystyle P_{0}=\max[p(t)]}
.
峰值功率不是持續量測的物理量,儀器比較方便量測的是平均功率
P
a
v
g
{\displaystyle P_{\mathrm {avg} }}
。若定義單位脈衝的功率為:
ϵ
p
u
l
s
e
=
∫
0
T
p
(
t
)
d
t
{\displaystyle \epsilon _{\mathrm {pulse} }=\int _{0}^{T}p(t)\mathrm {d} t\,}
則平均功率為:
P
a
v
g
=
1
T
∫
0
T
p
(
t
)
d
t
=
ϵ
p
u
l
s
e
T
{\displaystyle P_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\mathrm {d} t={\frac {\epsilon _{\mathrm {pulse} }}{T}}\,}
也可以定義脈衝長度
τ
{\displaystyle \tau }
使得
P
0
τ
=
ϵ
p
u
l
s
e
{\displaystyle P_{0}\tau =\epsilon _{\mathrm {pulse} }}
,因此以下的比值
P
a
v
g
P
0
=
τ
T
{\displaystyle {\frac {P_{\mathrm {avg} }}{P_{0}}}={\frac {\tau }{T}}\,}
會相等。此比值即為脈衝的占空比 。
^ Halliday and Resnick. 6. Power. Fundamentals of Physics. 1974.
^ Chapter 13, § 3, pp 13-2,3 The Feynman Lectures on Physics Volume I, 1963
^ Chapter 6 § 7 Power Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics 1974.
^ 燒一公斤的煤會放出每公斤15-30百萬焦耳的能量,而引爆一公斤的三硝基甲苯會產生4.7百萬焦耳的能量,有關煤的熱值,可以參考Fisher, Juliya. Energy Density of Coal . The Physics Factbook. 2003 [30 May 2011] . (原始內容存檔 於2006-11-07). 有關三硝基甲苯的熱值,可以參考爆炸當量 條目。
^ 5.0 5.1 Electric Power and Energy . [2010-05-18 ] . [永久失效連結 ]
線性(平動)的量
角度(轉動)的量
因次
—
L
L2
因次
—
—
—
T
時間 : t s
位移積分 : A m s
T
時間 : t s
—
距離 : d , 位矢 : r , s , x , 位移 m
面積 : A m2
—
角度 : θ , 角移 : θ rad
立體角 : Ω rad2 , sr
T−1
頻率 : f s−1 , Hz
速率 : v , 速度 : v m s−1
面積速率 : ν m2 s−1
T−1
頻率 : f s−1 , Hz
角速率 : ω , 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2
T−2
角加速度 : α rad s−2
T−3
加加速度 : j m s−3
T−3
角加加速度 : ζ rad s−3
M
質量 : m kg
ML2
轉動慣量 : I kg m2
MT−1
動量 : p , 衝量 : J kg m s−1 , N s
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
ML2 T−1
角動量 : L , 角衝量 : ι kg m2 s−1
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F , 重量 : F g kg m s−2 , N
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
ML2 T−2
力矩 : τ , moment : M kg m2 s−2 , N m
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
加力 : Y kg m s−3 , N s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W
ML2 T−3
rotatum : P kg m2 s−3 , N m s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W