此條目介紹的是一類克卜勒軌道。關於常引力下自由物體的軌跡，請見「
平拋運動 」。
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此圖像中的綠色軌跡是拋物線軌跡的示例。 在該圖的左下圖描繪了拋物線軌跡，其中中心質點的勢阱顯示了勢能，而拋物線軌跡的動能為紅色。根據克卜勒定律，隨著速度的降低和距離的增加，動能逐漸趨於零。 在天體動力學 或天體力學 中，拋物線軌道 （英語：parabolic trajectory ）是離心率 等於1的克卜勒軌道 ，並且是一個無界軌道 ，正好介於橢圓 和雙曲線 之間。從一處離開時，它稱為逃逸軌道 ，否則稱為捕獲軌道 。有時也稱為C3 = 0 軌道 。
在標準假設下，沿著逃逸軌道運行的物體將沿著拋物線 軌跡滑行至無窮遠，相對於中心物體的速度趨於零，因此將永遠不會返回。拋物線軌跡是能量最小的逃逸軌跡，將正能量的雙曲線軌道與負能量的橢圓軌道分開。
沿拋物線軌道運行的物體的軌道速度（
v
{\displaystyle v}
v
=
2
μ
r
{\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over r}}}
其中：
r
{\displaystyle r}
中心天體 的徑向距離，
μ
{\displaystyle \mu }
標準重力參數 。在任何位置，軌道天體都具有該位置的逃逸速度 。
如果一個物體獲得一個相對於地球的逃逸速度，由於其不足以逃逸太陽系，其在地球附近的軌道類似於拋物線，但在更遠的地方它會變入圍繞太陽的橢圓軌道。
這個速度（
v
{\displaystyle v}
v
=
2
v
o
{\displaystyle v={\sqrt {2}}\,v_{o}}
其中：
v
o
{\displaystyle v_{o}}
對於沿著這種軌道運動的物體，軌跡方程 變為：
r
=
h
2
μ
1
1
+
cos
ν
{\displaystyle r={h^{2} \over \mu }{1 \over {1+\cos \nu }}}
其中：
r
{\displaystyle r\,}
中心天體 的徑向距離，
h
{\displaystyle h\,}
角動量 ，
ν
{\displaystyle \nu \,}
真近點角 ，
μ
{\displaystyle \mu \,}
標準重力參數 。在標準假設下，拋物線軌道的比軌道能量 （
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
軌道能量守恆方程 為以下形式：
ϵ
=
v
2
2
−
μ
r
=
0
{\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}=0}
其中：
v
{\displaystyle v\,}
軌道速度 ，
r
{\displaystyle r\,}
中心天體 的徑向距離，
μ
{\displaystyle \mu \,}
標準重力參數 。這完全等同於特徵能量 （無窮遠處速度的平方）為 0：
C
3
=
0
{\displaystyle C_{3}=0}
巴克方程闡述了在拋物線軌道中真近點角與運動時間之間的關係[ 1]
t
−
T
=
1
2
p
3
μ
(
D
+
1
3
D
3
)
{\displaystyle t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}
其中：
D
=
tan
ν
2
{\displaystyle D=\tan {\frac {\nu }{2}}}
ν
{\displaystyle \nu }
t
{\displaystyle t}
T
{\displaystyle T}
μ
{\displaystyle \mu }
p
{\displaystyle p}
p
=
h
2
μ
{\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}
更一般的，在軌道上任意兩個點所對應的時間的差值為
t
f
−
t
0
=
1
2
p
3
μ
(
D
f
+
1
3
D
f
3
−
D
0
−
1
3
D
0
3
)
{\displaystyle t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)}
同樣的，這條方程也可以使用近點距離表示，在一個有
rp = p /2的軌道中：
t
−
T
=
2
r
p
3
μ
(
D
+
1
3
D
3
)
{\displaystyle t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}
與克卜勒方程不同——同樣也用於求解在橢圓和雙曲軌跡中的真近點角，巴克方程中可以直接解出真近點角與時間的關係。如果我們做如下代換[ 2]
A
=
3
2
μ
2
r
p
3
(
t
−
T
)
{\displaystyle A={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}
B
=
A
+
A
2
+
1
3
{\displaystyle B={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}}
則有：
ν
=
2
arctan
(
B
−
1
B
)
{\displaystyle \nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)}
![{\displaystyle B={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7fe3cbe93b80fce8e7a352d1509be29cf429f6e)
