牛頓旋轉軌道定理

圖1：吸引力 $F(r)\,\!$ 造成藍行星公轉於青綠軌道。綠行星的角速度比藍行星快三倍，因此需要更強的向心力，這是由立方反比吸引力給出。固定不動的紅行星依靠立方反比排斥力來抵銷吸引力 $F(r)\,\!$ 。這三個軌道的半徑皆為常數。本動畫的GIF版本展示於這裡。

圖2：綠行星和藍行星的公轉軌道的半徑相同，但是綠行星的角速度是藍行星的 $k\,\!$ 倍。圖1、圖3－圖5展示這類軌道的案例。

在經典力學裏，牛頓旋轉軌道定理(Newton's theorem of revolving orbits)明示哪種連心力可以將移動粒子的角速度增加為 $k\,\!$ 倍，同時不影響其徑向運動（參閱圖1和圖2）。藉著這理論，從觀測得到的月亮和各個行星的軌道數據，艾薩克·牛頓可以分析軌道的整體旋轉運動（拱點進動，圖3）。術語徑向運動表示朝著或背著作用力中心的方向的運動，角運動表示垂直於徑向方向的運動。

牛頓在他最初發表於1687年的巨著《自然哲學的數學原理》，第一冊命題43至命題45裏，推導出這定理。在命題43裏，他闡明，只有連心力才能達成此目標，其大小僅只相依於粒子與作用力中心點（簡稱力中心點）之間的距離 $r\,\!$ 。在命題44裏，他推導出這連心力的特徵方程式，證明這連心力是立方反比作用力，與 $r\,\!$ 的三次方成反比。在命題45裏，假定粒子移動於近圓形軌道，牛頓又將這定理延伸至任意連心力狀況。

天文物理學家蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡在他的1995年關於《自然哲學的數學原理》的評論中指出，已經過了三個世紀，但這理論仍舊鮮為人知，尚待發展。自1997年以後，唐納德·淩澄-貝爾(Donald Lynden-Bell)與合作者曾經研究過這理論。2000年，費紹·瑪侯嵋(Fazal Mahomed)與F·娃達(F. Vawda)共同貢獻出這理論的延伸的精確解。

歷史背景

從地球觀看到的火星的逆行運動圖案。

圖3：行星繞著太陽的公轉軌道呈橢圓形（卵形(oval)）。隨著時間演進，這軌道會緩慢地旋轉（稱為拱點進動）。為了可視化，這橢圓軌道的離心率已被增大。在太陽系裏，大多數的軌道的離心率比較小的多，看起來接近圓形。本動畫的GIF版本展示於這裡。

過去幾千年來，天文學家有系統地觀測星體運動。各種各樣的恆星規律地繞動，永遠保持相對位置不變。可是，有一些星體被觀測到漫遊於這些恆星背景的前方。大多數這種星體稱為行星，希臘文"πλανήτοι" (planētoi)，意思是「漫遊者」。雖然它們通常沿著一條路徑朝著同樣方向從天空的這一端移動到那一端（稱為黃道）。單獨行星有時候會短暫地逆轉其移動方向，展示出逆行運動。

為了描述這種忽前忽後的運動，阿波羅尼奧斯 (ca. 262 BC – ca. 190 BC) 提出均輪與本輪(deferent and epicycle)的概念。按照這概念，行星搭乘於旋轉中的圓圈，而旋轉中的圓圈又搭乘於另一個旋轉中的圓圈，像兒童樂園裏的咖啡杯遊戲一般。這樣，一個相繼地搭乘一個，對應於現代的傅立葉轉換，任意軌道可以用足夠數量、仔細設定的本輪來模擬。大約350年後，托勒密編纂出《天文學大成》。在這本書裏，他發展出來的系統能夠比美那時代最準確的天文觀測。托勒密採用亞里斯多德的地心學說來解釋自己發展出來的系統，強調行星的運動局限於同心圓球面。大約有1500年時間，這種宇宙模型是公認的正確宇宙觀。

在16世紀，由於天文學家第谷·布拉赫和物理學家約翰內斯·克卜勒的共同努力，研究出許多關於行星運動的科學知識。經過多年的披星戴月、不眠不休地細心觀測，第谷得到極多非常準確的行星運動數據。第谷慷慨無私地將這些數據托付給克卜勒，讓克卜勒能夠專心研究這些數據。克卜勒因此推論出關於行星運動的克卜勒定律。根據這定律，在太陽系裏，各個行星繞著太陽（不是地球）公轉，這公轉軌道的形狀是橢圓形，而不是本輪形。克卜勒第二定律和第三定律更給出具體的預測數值：在相等時間內，太陽和公轉中的行星的連線所掃過的面積都是相等的（稱此連線為行星的連心線）；繞著太陽的各個行星，其公轉周期的平方和其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。後來，更精確的觀測又顯示出，由於拱點進動，隨著時間的演進，橢圓的長軸也會緩慢的旋轉。軌道的拱點是行星的公轉軌道離橢圓的焦點（力中心點）最近或最遠的位置。對於繞著太陽的行星的公轉軌道，近日點和遠日點都是拱點。

大約80年後，於1687年，牛頓發表了《自然哲學的數學原理》。在這本巨著裏，牛頓給出一個物理理論，能夠解釋所有克卜勒的三條定律。這理論是建構於牛頓運動定律和牛頓萬有引力定律。牛頓提議，作用於任意兩個物體之間的重力是一種連心力，大小與兩個物體的質量乘積成正比，與兩個物體的距離平方成反比。從他的運動定律來論述，感受到這種作用力的任意粒子的軌道是圓錐曲線，更明確地說，假若這軌道不延伸至無窮遠，則必會呈橢圓形。可是，這結論只成立於當系統裏只有兩個物體（二體問題）的時候。在牛頓之後已有幾百年了，雖然科學家能夠找到一些特別案例的解答，像歐拉三體問題(Euler's three-body problem)的解答，三個或三個以上的物體因為相互的重力作用而呈現的運動（三體問題、多體問題）仍舊無解。牛頓建議，行星繞著太陽的公轉軌道大約為橢圓形，因為太陽的重力是主掌的作用力，足以掩蓋其它作用力。取至一階，其它行星的影響可以被忽略。相提並論，月亮繞著地球的橢圓公轉軌道，所牽涉到的極大部分的作用力是地球重力，太陽的重力和其它太陽系的天體的重力都可以被忽略。但是，牛頓表明，行星軌道和月球軌道的拱點進動是這些被忽略的作用力所造成的。特別地，月球軌道的進動是因為太陽重力的微擾效應。

牛頓旋轉軌道定理是牛頓第一次嘗試研究拱點進動的成果。根據這定理，某種連心力（立方反比力）的添加動作可以使得公轉軌道繞著力中心點旋轉，能夠將繞著力中心點公轉的粒子的角速度乘以因子 $k\,\!$ ，同時保持粒子的徑向運動不變。但是，這定理局限於某種特定的作用力，某種無關緊要的作用力；一些平方反比微擾作用（例如，其它行星施加的作用力）似乎不太可能會恰巧地合併成一個立方反比力。為了讓他的定理能夠應用於其它種類的作用力，聰明絕頂的牛頓發覺，在近圓形軌道的極限，任意連心力 $F(r)\,\!$ 的最佳近似乃是一個立方反比力。這解答牽涉到一種低離心率橢圓軌道；在太陽系裏，大多數軌道都是這種軌道。為了找到這近似，牛頓發展出一種無窮級數，可以視為泰勒展開的前驅。這近似使得牛頓能夠估算任意連心力的進動率。牛頓用這近似來檢驗各種各樣造成月亮軌道的拱點進動的作用力模型。但是，月亮運動軌道問題雲譎波詭，錯綜複雜，牛頓心有餘而力不足，無法給出一個準確的月亮軌道的拱點進動的重力模型。後來，於1747年，亞歷克西斯·克萊羅研究出一個比較準確的模型。19世紀末期，喬治·希爾(George Hill)、E·布朗(E. W. Brown)、查爾斯·德朗奈(Charles-Eugène Delaunay)又分別發展出幾種月球運動的分析模型。

不僅僅可以解釋拱點進動，牛頓旋轉軌道定理涉及的範圍極廣博。這定理能夠描述將立方反比力添加於任意連心力 $F(r)\,\!$ 會產生的效應；這連心力 $F(r)\,\!$ 可能不光是簡單的平方反比作用力像牛頓的萬有引力或庫侖力。這定理便利地簡化了經典力學軌道問題；在分析粒子的運動軌道時，可以先行計算分別表達徑向運動和角運動的軌道方程式 $r(t)\,\!$ 、$\theta (t)\,\!$ ，不需考慮立方反比力，稍後，通過將粒子的角速度乘以因子 $k\,\!$ ，就可以計算出來這立方反比力的效應：

$\omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}\,\!$ 。

數學概述

圖4：三個行星的徑向運動相同，但是分別以不同的角速度公轉。只感受到平方反比作用力的藍行星移動於橢圓軌道 ($k=1\,\!$) 。綠行星的角速度是藍行星的三倍 ($k=3\,\!$) 。紅行星的角速度為零 ($k=0\,\!$) 。圖9展示綠行星和藍行星的軌道。本動畫的GIF版本展示於這裡。

圖5：綠行星的角速度是藍行星的三分之一 ($k=1/3\,\!$) 。綠行星每繞完一圈，藍行星要繞完三圈。圖10展示綠行星和藍行星的軌道。本動畫的GIF版本展示於這裡。

思考一個感受到任意連心力 $F_{1}(r)\,\!$ 、質量為 $m\,\!$ 的移動中的粒子，由於其運動軌道永遠包含於某平面，粒子的位置可以以極坐標 $(r,\theta _{1})\,\!$ 表示。安置極作標系的原點於力中心點。隨著時間的演進，移動於軌道的粒子的極坐標是時間 $t\,\!$ 的函數 $(r(t),\theta _{1}(t))\,\!$ 。

試想另外一個感受到連心力 $F_{2}(r)\,\!$ 、質量為 $m\,\!$ 的移動中的粒子，徑向運動也是 $r(t)\,\!$ ，但是角速度是第一個粒子的 $k\,\!$ 倍；也就是說，兩個粒子的方位角的關係式為 $\theta _{2}(t)=k\theta _{1}(t)\,\!$ 。牛頓表明，兩個連心力的差值是一個立方反比連心力：

$F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!$ ；

其中，$L_{1}\,\!$ 是第一個粒子的角動量，是連心力的一個運動常數（守恆量）。

假設 $k^{2}>1\,\!$ ，$F_{2}(r)-F_{1}(r)<0\,\!$ ，則額外的立方反比連心力是吸引力，如同圖1、圖4中，綠行星額外感受到的吸引力。明顯對比，假設 $k^{2}<1\,\!$ ，$F_{2}(r)-F_{1}(r)>0\,\!$ ，則額外的立方反比連心力是排斥力，如同圖5、圖10中，綠行星額外感受到的排斥力，和圖1、圖4、圖5中，紅行星額外感受到的排斥力。

導引

牛頓的導引

在牛頓的巨著《自然哲學的數學原理》第一冊的命題43至命題45裏，可以找到他的導引。這些導引大多數是建立於幾何學。

命題43；問題30

示圖說明牛頓的導引。藍行星的橢圓軌道以虛線表示，綠行星的橢圓軌道以實線表示。兩個橢圓軌道共同享有單獨一個焦點C（力中心點）。$\angle UCP\,\!$ 和 $\angle VCQ\,\!$ 都等於 $\theta _{1}\,\!$ ，而 $\angle UCQ\,\!$ 等於 $\theta _{2}=k\theta _{1}\,\!$ 。相對於虛線橢圓，實線橢圓也旋轉了 $\angle UCV\,\!$ ，等於 $(k-1)\theta _{1}\,\!$ 。三個行星（藍，綠，紅）與力中心點的距離都等於 $r\,\!$ 。

物體移動於繞著力中心點旋轉的曲線，必定如同物體移動於固定不動的相同曲線。

詳細地解釋這句話，假設一條曲線 ${\mathcal {C}}_{1}\,\!$ 繞著力中心點旋轉，另外一條同樣的曲線 ${\mathcal {C}}_{2}\,\!$ 固定不動，則由於作用力為連心力，物體移動於曲線 ${\mathcal {C}}_{1}\,\!$ 的運動，必定如同物體移動於曲線 ${\mathcal {C}}_{2}\,\!$ 的運動。

牛頓的命題43導引依靠在《自然哲學的數學原理》裏已先行推導出來的命題2。命題2給出一種能夠查明一個粒子所感受到的合力是否為連心力的測驗：牛頓表明，一個作用力是連心力，若且維若，在相等時間內，粒子的連心線掃過的面積都是相等的。

牛頓的導引如下： 假設一粒子感受到任意連心力 ${F}_{1}(r)\,\!$ ，安置極作標系的原點於力中心點，則粒子位置的徑向坐標和角坐標分別為 $(r(t),\theta _{1}(t))\,\!$ 。在無窮小時間 $dt\,\!$ 內，其連心線掃過的面積 $dA_{1}\,\!$ 為

$dA_{1}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta _{1}\,\!$ 。

由於粒子感受到的作用力為連心力，根據牛頓命題2，在相等時間內，粒子的連心線掃過相等角度；換句話說，粒子的連心線掃過的面積速度為常數：

${\frac {dA_{1}}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\mathrm {constant} \,\!$。

在拱點，離力中心點最近或最遠的位置，速度向量與徑向向量相互垂直，單位質量的角動量（表示為 $h_{1}\,\!$ ）與常數面積速度的關係式為

$h_{1}={\frac {L_{1}}{m}}=rv_{1}=r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2{\frac {dA_{1}}{dt}}\,\!$ 。

思考第二個粒子，其軌道的徑向函數與第一個粒子完全相同，但其角函數 $\theta _{2}(t)\,\!$ 是第一個粒子的 $k\,\!$ 倍：

$\theta _{2}(t)=k\theta _{1}(t)\,\!$ 。

第二個粒子的面積速度 $h_{2}\,\!$ 是第一個粒子的面積速度乘以因子 $k\,\!$ ：

$h_{2}=2{\frac {dA_{2}}{dt}}=r^{2}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}=kr^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2k{\frac {dA_{1}}{dt}}=kh_{1}\,\!$。

由於 $k\,\!$ 是常數，在相等時間內，第二個粒子的連心力也掃過相等面積。因此，根據命題2，第二個粒子所感受到的作用力也是連心力 $F_{2}(r)\,\!$ 。這是命題43的結論。

命題44

分別感受到兩個不同的作用力，一個物體移動於固定不動的軌道，如同另外一個物體移動於繞著力中心點旋轉的軌道，則這兩個作用力的差值與徑向距離的立方成反比。

為了能從原本連心力 $F_{1}(r)\,\!$ 計算出新的連心力 $F_{2}(r)\,\!$ ，牛頓應用幾何與向心加速度的定義來計算它們的差值 $F_{2}(r)-F_{1}(r)\,\!$ 。他證明這差值與徑向距離的立方成反比：

$F_{2}(r)-F_{1}(r)=m{\frac {h_{1}^{2}-h_{2}^{2}}{r^{3}}}\,\!$ 。

命題45；問題31

尋找近圓形軌道的拱點的運動。

在這命題裏，從他的旋轉軌道定理，牛頓推導出關於近圓形軌道的一些後論。對於行星軌道和月亮迴繞地球的公轉軌道，這近似通常成立。這近似也使得牛頓能夠思考一些不同種類的連心力定律，不僅僅是平方反比定律或立方反比定律。

現代導引

愛德蒙·惠特克(E. T. Whittaker)和錢德拉塞卡都曾經分別發表過有關於牛頓旋轉軌道定理的現代導引。

假設，第二個粒子的角速度 $\omega _{2}\,\!$ 是第一個粒子的角速度 $\omega _{1}\,\!$ 的 $k\,\!$ 倍：

$\omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}\,\!$ ；

其中，$(x,y)\,\!$ 是粒子的直角坐標。

由於兩個粒子的徑向行為 $r(t)\,\!$ 相同，兩個粒子的守恆角動量 $L_{1}\,\!$ 、$L_{2}\,\!$ 之間的關係為因子 $k\,\!$ ：

$L_{2}=mr^{2}\omega _{2}=mr^{2}k\omega _{1}=kL_{1}\,\!$ 。

一个運動於連心勢 $V(r)\,\!$ 的粒子的拉格朗日量等於其動能减去連心勢：

${\mathcal {L}}(r,\theta )={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)-V(r)={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-V(r)\,\!$ 。

其拉格朗日方程式為

$m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}-F(r)=0\,\!$ 、

${\frac {d}{{d}t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0\,\!$ ；

其中，$F(r)=-\ {\frac {\partial V(r)}{\partial r}}\,\!$ 為連心力。

移動於連心勢 $V(r)\,\!$ 的粒子的運動方程式乃是由拉格朗日方程式給出：

$m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)\,\!$ 。

分別應用這運動方程式的徑向部分於兩個粒子，

$m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {L_{2}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {k^{2}L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\,\!$ ；

其中，$F_{1}(r)\,\!$ 、$F_{2}(r)\,\!$ 分別為作用於第一個粒子和第二個粒子的連心力。

稍加編排，可以得到

$F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!$ 。

這兩個連心力之間的關係式的內涵，可以解釋為，角速度（或等價地，角動量）的不同造成了向心力需求的不同；為了滿足這需求，徑向力必須增添一個立方反比力。

牛頓旋轉軌道定理可以等價地以勢能來表達，連心勢定義為

$F(r)=-{\frac {dV}{dr}}\,\!$ 。

徑向力方程式可以以勢能寫為

$-\ {\frac {dV_{2}}{dr}}=-\ {\frac {dV_{1}}{dr}}+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!$

對於徑向距離 $r\,\!$ 積分，牛頓旋轉軌道定理表明，添加一個平方反比連心勢於任意給定的勢能 $V_{1}(r)\,\!$ ，可以使角速度增快為 $k\,\!$ 倍：

$V_{2}(r)=V_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{2mr^{2}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!$ 。

參閱

• 克卜勒問題
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 伯特蘭定理
• 廣義相對論中的克卜勒問題

參考書目

• 艾薩克·牛頓. The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy 3rd edition (1726); I. Bernard Cohen 與 Anne Whitman翻譯，Julia Budenz協助翻譯. Berkeley, CA: University of California Press. 1999: 147–148, 246–264, 534–545. ISBN 978-0520088160. 
• 蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡. Newton's Principia for the Common Reader. Oxford University Press. 1995: 183–200. ISBN 978-0-19-852675-9. 
• Pars LA. A Treatise on Analytical Dynamics. John Wiley and Sons. 1965: 56. ISBN 978-0918024077 (1981 reprint by Ox Bow Press). 
• E. T. Whittake. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies 4th. New York: Dover Publications. 1937: 83. ISBN 978-0-521-35883-5. 
• Edward Routh. A Treatise on Dynamics of a Particle reprint of 1898. New York: Dover Publications. 1960: 230–233 (sections §356–359). ISBN 978-0548965214 (2008 reprint). 
• W. W. Rouse Ball. An Essay on Newton's Principia. Macmillan and Co. (reprint, Merchant Books). 1893: 84–85. ISBN 978-1-60386-012-3. 

進階閱讀

• 約瑟·伯特蘭. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. Comptes rendus des séances de l'Academie des Sciences. 1873,. xxvii/10: 849–853.  (séance du lundi 20 Octobre 1873)
• I. Bernard Cohen. A Guide to Newton's Principia. The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Berkeley, CA: University of California Press. 1999: 147–148, 246–252. ISBN 978-0520088160. 
• A. Cook. The Motion of the Moon. Bristol: Adam Hilger. 1988. ISBN 0-85274-348-3. 
• D'Eliseo, MM. The first-order orbital equation. American Journal of Physics. 2007, 75: 352–355. doi:10.1119/1.2432126. 
• Guicciardini, Niccolò. Reading the Principia: The Debate on Newton's Mathematical Methods for Natural Philosophy from 1687 to 1736. Cambridge University Press. 1999. ISBN 9780521544030. 
• 艾薩克·牛頓. Principia Vol. I The Motion of Bodies 根據《自然哲學的數學原理》的第二版本 (1713); Andrew Motte (1729)翻譯，Florian Cajori (1934)校訂. Berkeley, CA: University of California Press. 1966: 135–147 (Section IX of Book I). ISBN 978-0520009288.  《自然哲學的數學原理》的較早版本（第二版本）的另外一種翻譯。
• Smith GE. Newton and the Problem of the Moon's Motion. The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Berkeley, CA: University of California Press. 1999: 252–257. ISBN 978-0520088160. 
• Smith GE. Motion of the Lunar Apsis. The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Berkeley, CA: University of California Press. 1999: 257–264. ISBN 978-0520088160. 
• 斯皮瓦克, 麥克. Planetary Motion. Calculus 3rd. Publish or Perish. 1994. ISBN 0914098896.