單子 (範疇論):修订间差异
小 [InPageEdit] →自由遺忘伴隨: 自然變換分量的下標 |
|||
第100行: | 第100行: | ||
==單子的代數== |
==單子的代數== |
||
{{see also|{{le|F代數|F-algebra}}|{{le|偽代數|pseudoalgebra}}}} |
|||
給定範疇<math>\mathcal C</math>上的單子<math>(T,\eta,\mu)</math>,可以考慮<math>\mathcal C</math>中的'''<math>\boldsymbol T</math>代數物件'''。<math>T</math>在該些物件上的作用,與單子的單位與乘法相容。具體而言,'''<math>\boldsymbol T</math>代數'''<math>(x,h)</math>是<math>\mathcal C</math>中的物件<math>x</math>,連同態射<math>h: Tx\to x</math>(稱為該代數的'''結構映射'''),使得圖 |
|||
{| align="center" |
|||
|- |
|||
|[[Image:Monad_multi_algebra.svg]] |
|||
| width="20" | |
|||
|及 |
|||
| width="20" | |
|||
|[[Image:Monad_unit_algebra.svg]] |
|||
|} |
|||
皆可交換。 |
|||
<math>T</math>代數間的'''態射'''<math>f:(x,h)\to(x',h')</math>是<math>\mathcal C</math>中的態射<math>f:x\to x'</math>,且要使[[Image:Monad_morphism_algebra.svg|center]]可交換。於是,<math>T</math>代數及之間的態射組成範疇,稱為'''艾倫伯格-摩爾範疇'''({{lang-en|Eilenberg–Moore category}}),記為<math>\mathcal C^T</math>. |
|||
=== 例子 === |
|||
==== 自由群單子上的代數 ==== |
|||
若<math>T</math>為前述[[#自由遺忘伴隨|自由群單子]],則<math>T</math>代數是集合<math>X</math>,連同由<math>X</math>生成的自由群<math>F(X)</math>到<math>X</math>的映射('''求值''',{{lang|en|evaluation}}),且該映射要滿足[[結合律]]與單位元的公理。換言之,<math>X</math>本身就具有群結構,而<math>F(X)</math>至<math>X</math>的映射,是將字串按<math>X</math>的群乘法,計算所得的結果 |
|||
==== 分佈單子上的代數 ==== |
|||
另一個例子是集合範疇上的'''分佈單子'''({{lang-en|distribution monad}})<math>\mathcal{D}</math>,其將集合<math>X</math>映至其上所有有限[[支撐集|支撐]]的[[離散分佈|概率分佈]]的集合。該等分佈,是函數<math>f : X \to [0,1]</math>,僅於有限多個元素<math>x \in X</math>處取值非零,而各元素處取值之和為<math>1</math>。以符號表示,<blockquote><math>\mathcal{D}(X) = \left\{ |
|||
f: X \to [0,1] : \begin{matrix} |
|||
\#\text{supp}(f) < +\infty, \\ |
|||
\sum_{x \in X} f(x) = 1 |
|||
\end{matrix} |
|||
\right\}.</math></blockquote> |
|||
可由定義證明,分佈單子上的代數,等同於[[凸集]],即集合要配備二元運算<math>+_r</math>(對每個<math>r \in [0,1]</math>),滿足的公理比照[[歐氏空間]]中,[[凸組合]]<math>(x, y) \mapsto rx + (1-r)y</math>具備的性質。<ref>{{cite journal|last=Świrszcz|first=T.|title=Monadic functors and convexity|trans-title =單子函子與凸性|journal=Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys.|volume=22|year=1974|pages=39–42|mr=0390019|language = en}}</ref> |
|||
<ref> |
|||
{{cite book|doi=10.1007/978-3-642-15240-5_1|chapter=Convexity, Duality and Effects|trans-chapter = 凸性、對偶、作用|title=Theoretical Computer Science|trans-title = 理論電腦科學|editor1-last = Calude | editor1-first = C.S. | editor2-last = Sassone |editor2-first = V. |volume=323|pages=1–19|series=IFIP Advances in Information and Communication Technology|year=2010|last1=Jacobs|first1=Bart|isbn=978-3-642-15239-9|doi-access=free|language = en}}</ref> |
|||
==單子與伴隨== |
==單子與伴隨== |
2021年9月18日 (六) 15:36的版本
數學的分支範疇論中,單子(英語:monad),又稱三元組(triple, triad)、標準構造(standard construction)、基本構造(fundamental construction)[1],是一個內函子(即由某範疇映到自身的函子),連同滿足特定連貫條件的兩個自然變換,三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對,並將偏序集上的闭包算子推廣到任意範疇。
導論與定義
單子是一類內函子(連同其他資訊)。例如,若和為一對伴隨函子,為的左伴隨,則複合是單子。若與互為逆函子,則對應的單子是恆等函子。一般而言,伴隨關係並不等同范畴的等价,而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質,數學家研究單子論。理論的另一半,即藉考慮,以研究伴隨關係,是單子論的對偶理論。該類函子稱為餘單子(英語:comonad)。
嚴格定義
本條目中,皆表示某範疇。上的單子是函子,連同兩個自然變換,分別是單位(其中是上的恆等函子)與乘法(其中是複合,亦是到的函子),且要滿足下列連貫條件:
- (左右皆為的自然變換)。此處與經水平複合而得。
- (兩者皆為的自然變換)。此處表示由函子到自身的恆等自然變換。
以上兩式,亦可以下列交換圖複述:
記號與的含義,參見自然變換,又或考慮以下更具體的寫法,不用水平複合記號,並將各函子作用在任意物件上:
定義中,若將當成幺半群的乘法,則第一條公理類似幺半群的乘法結合律,而第二條公理類似單位元的存在性(由給出)。準確而言,上的單子,可以等價地定義為的內函子範疇中的幺半群。(該範疇的物件是上的內函子,而態射是內函子間的自然變換,幺半結構來自內函子的複合運算。)如此,單子不僅在形式上具有與幺半群相似的公理,甚而單子就是幺半群的特例。
冪集單子
冪集單子是集合範疇上的單子。其定義中,函子取為冪集運算,即為集合的冪集,而對於函數,將的子集映至其像集,即。對每個集合,有函數,對每個元素映至單元子集, 並有函數
將的若干個子集構成的族,映至該些子集的並集。以上是冪集單子的定義。
兩個單子的複合,未必為單子。舉例,冪集單子的二次疊代,無法配備單子結構。[2]
餘單子
取上節定義的範疇論對偶,便是餘單子(或餘三元組)的定義。簡單複述,範疇上的餘單子,是對偶範疇上的單子。所以,餘單子是由到的某個函子,連同餘單位與餘乘法(英語:counit and comultiplication)兩個自然變換,組成的整體,而三者所要滿足的公理,是將原定義中所有態射反轉方向而得。
單子之於幺半群,如同餘單子之於餘幺半群。每個集合皆是餘幺半群,且僅有唯一一種方式,所以抽象代數中,較少考慮餘幺半群。然而,在線性代數中,向量空間範疇(配備張量積)的餘幺半群較為重要,以餘代數之名為人所知。
術語歷史
此章节需要扩充:中文名稱「單子」由來 |
單子的概念由羅傑·戈德芒於1958年提出,當時稱為「標準構造」(英語:standard construction)。六七十年代,則常稱為「三元組」。現今常用的英文名稱monad是由桑德斯·麥克蘭恩提出。
例子
伴隨的複合
若有伴隨關係
(即為的左伴隨,下同),則由此有上的單子。此普遍的構造,取內函子為複合
而單位自然變換來自伴隨的單位,乘法自然變換源自伴隨的餘單位:
反之,給定單子,可以明確找回一對伴隨函子,使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的代數的艾倫伯格-摩爾範疇。[3]
兩重對偶
給定域,雙重對偶單子(英語:double dualisation monad)源自伴隨關係
其中兩個函子皆將向量空间映至對偶空間,所以對應的單子將向量空間映至雙對偶。Kock (1970) 對此有更廣泛的討論。
偏序集的閉包算子
偏序集可以視為特殊的範疇,任意兩件物件之間有最多一支態射,且到有態射当且仅当偏序中。於是,偏序集之間的函子,即是保序映射,而伴隨函子對,則組成兩偏序集間的伽罗瓦连接,相應的單子是伽羅華連接的闭包算子。
自由遺忘伴隨
又舉例,設為群範疇至集合范畴的遺忘函子,將群映至其基集,又設為自由函子,由到,則是的左伴隨。此時,對應的單子的作用是,輸入一個集合,輸出自由群的基集,即字母取自,且無相鄰兩個字母互為逆元的字串的集合。
該單子的單位變換,由包含映射
給出,該包含映射將的任意元素,看成僅得一個字元的字串,從而是的元素。最後,單子的乘法
是串接或「壓平」運算,將若干條字串組成的串,映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換。
前述例子中,自由群可以推廣至其他種類的代數結構,即泛代数意義下的任意一簇代數。如此,每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是,該類代數的範疇,可從單子找回,即單子的艾倫伯格-摩爾代數範疇,故單子可視為泛代數之簇的推廣。
另外,尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇上,若表示將向量空間映至其张量代数的內函子,則相應有單位自然變換將嵌入到其张量代数,並有乘法自然變換,在處的分量是態射,將張量積之張量積展開化簡。
餘密度單子
只要滿足某些不強的條件,無左伴隨的函子也可以產生單子,稱為餘密度單子。例如,從有限集合範疇到集合範疇的包含函子無法配備左伴隨,但其餘密度單子定義在上,將任意集合映至其上所有超滤子的集合。 類似例子見於Leinster (2013) 。
單子的代數
給定範疇上的單子,可以考慮中的代數物件。在該些物件上的作用,與單子的單位與乘法相容。具體而言,代數是中的物件,連同態射(稱為該代數的結構映射),使得圖
及 |
皆可交換。
代數間的態射是中的態射,且要使
可交換。於是,代數及之間的態射組成範疇,稱為艾倫伯格-摩爾範疇(英語:Eilenberg–Moore category),記為.
例子
自由群單子上的代數
若為前述自由群單子,則代數是集合,連同由生成的自由群到的映射(求值,evaluation),且該映射要滿足結合律與單位元的公理。換言之,本身就具有群結構,而至的映射,是將字串按的群乘法,計算所得的結果
分佈單子上的代數
另一個例子是集合範疇上的分佈單子(英語:distribution monad),其將集合映至其上所有有限支撐的概率分佈的集合。該等分佈,是函數,僅於有限多個元素處取值非零,而各元素處取值之和為。以符號表示,
可由定義證明,分佈單子上的代數,等同於凸集,即集合要配備二元運算(對每個),滿足的公理比照歐氏空間中,凸組合具備的性質。[4] [5]
單子與伴隨
用途
推廣
參考文獻
- ^ Barr, Michael; Wells, Charles. Toposes, Triples and Theories [拓撲斯、三元組與理論] (PDF). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 278 (Springer-Verlag). 1985: 82 and 120. ISBN 0-387-96115-1.
- ^ Klin; Salamanca, Iterated Covariant Powerset is not a Monad, doi:10.1016/j.entcs.2018.11.013
- ^ Riehl, Emily. Category Theory in Context [脈絡中的範疇論] (PDF): 162. (原始内容存档 (PDF)于5 Apr 2021) (英语).
- ^ Świrszcz, T. Monadic functors and convexity [單子函子與凸性]. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 1974, 22: 39–42. MR 0390019 (英语).
- ^ Jacobs, Bart. Convexity, Duality and Effects [凸性、對偶、作用]. Calude, C.S.; Sassone, V. (编). Theoretical Computer Science [理論電腦科學]. IFIP Advances in Information and Communication Technology 323. 2010: 1–19. ISBN 978-3-642-15239-9. doi:10.1007/978-3-642-15240-5_1 (英语).