陈类

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数学上,特别是在代数拓扑微分几何中,陈类Chern class)是一类复向量叢示性类, 类比于斯蒂弗尔-惠特尼类Stiefel-Whitney class)作为实向量叢示性类

陈类因陈省身而得名,他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。

定义[编辑]

给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E,E的陈类是一系列X上同调的元素。E第k个陈类通常记为ck(E),是X整数系数的上同调群H2k(X;Z)中的一个元素,并且满足如下公理:

公理1. 对于任何 E,\ c_0(E) =1 \in H^0(X; \mathbb{Z});

公理2. 自然性:如果 E\to X是一个复向量丛 f: Y \to X 是一个连续映射 f^*E\to Y拉回的向量丛,那么对任意k, c_k(f^*E)=f^*(c_k(E))\in H^{2k}(Y; {\mathbb Z}).

公理3. 惠特尼求和公式:如果 E_1, E_2\to X是两个复向量丛,那么它们的直和  E_1\oplus E_2的陈类是

 c_k(E_1\oplus E_2)= \sum_{i=0}^k c_i(E_1)\cup c_{k-i} (E_2).

公理4. 如果H \to {\mathbb P}^1 是复射影直线上的超平面丛,那么c_1(H)庞加莱对偶 1\in H_0({\mathbb P}^1; {\mathbb Z}).

等价定义[编辑]

同时,有很多处理这个定义的办法:陈省身最初使用了微分几何;在代数拓扑中,陈类是通过同伦理论定义的,该理论提供了把E 和一个分类空间(在这个情况下是格拉斯曼流形联系起来的映射;还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法,表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。

直观地说,陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。


殆复流形的陈类和配边[编辑]

陈类的理论导致了殆复流形配边不变量的研究。

M是一个复流形,则其切丛是一个复向量丛。M陈类定义为其切丛的陈类。若M的2d维的,则每个陈类中的2d单项式可以和M基本类配对,得到一个整数,称为M陈数

M′ 是另一个同维度的近复流形,则它和M配边,当且仅当M′和M陈数相同.

推广[编辑]

陈类理论有个一般化,其中普通的上同调由一个广义上同调群理论所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同,但有一个关键的不同:计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的(普通)加法而是一个形式化群法则(formal group law)。

参考文献[编辑]