陈类

陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。

[编辑] 定义

给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E,E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的第k个陈类通常记为c_k(E),是X的整数系数的上同调群H^2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理:

公理1. 对于任何 $E,\ c_0(E) =1 \in H^0(X; \mathbb{Z});$

公理2. 自然性：如果 $E\to X$ 是一个复向量丛， $f: Y \to X$ 是一个连续映射， $f^*E\to Y$ 是拉回的向量从，那么对任意k， $c_k(f^*E)=f^*(c_k(E))\in H^{2k}(Y; {\mathbb Z})$ .

公理3. 惠特尼求和公式：如果 $E_1, E_2\to X$ 是两个复向量丛，那么它们的直和 $E_1\oplus E_2$ 的陈类是

$c_k(E_1\oplus E_2)= \sum_{i=0}^k c_i(E_1)\cup c_{k-i} (E_2)$ .

公理4. 如果 $H \to {\mathbb P}^1$ 是复射影直线上的超平面丛，那么 $c_1(H)$ 的庞加莱对偶是 $1\in H_0({\mathbb P}^1; {\mathbb Z})$ .

同时，有很多处理这个定义的办法：陈省身最初使用了微分几何；在代数拓扑中，陈类是通过同伦理论定义的，该理论提供了把E 和一个分类空间(在这个情况下是格拉斯曼流形联系起来的映射；还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。

直观地说，陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。

陈类的理论导致了殆复流形的配边不变量的研究。

若M是一个复流形，则其切丛是一个复向量丛。M的陈类定义为其切丛的陈类。若M是紧的2d维的，则每个陈类中的2d次单项式可以和M的基本类配对，得到一个整数，称为M的陈数。

若M′ 是另一个同维度的近复流形，则它和M配边，当且仅当M′和M陈数相同.

陈类理论有个一般化，其中普通的上同调由一个广义上同调群理论所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同，但有一个关键的不同：计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的（普通）加法而是一个形式化群法则(formal group law)。

Chern, Shiing-Shen, Characteristic classes of Hermitian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series. 1946, 47: 85-121, MR 0015793, ISSN 0003-486X
Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
Chern, Shiing-Shen Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.