牛顿多项式

牛顿多项式（英语：Newton Polynomial）是数值分析中一种用于插值的多项式，以英格兰数学家暨物理学家牛顿命名。

定义

给定包含$k+1$个数据点的集合$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$。

如果对于$\forall i,j\in \left\{0,...,k\right\},i\neq j$，满足$x_{i}\neq x_{j}$，那么应用牛顿插值公式所得到的牛顿插值多项式为

$N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)$

其中每个$n_{j}(x)$为牛顿基本多项式（或称插值基函数），其表达式为

$n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})$

其中$j>0$，并且$n_{0}(x)\equiv 1$。

系数$a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]$，而$[y_{0},\ldots ,y_{j}]$表示差商。

差商表（高阶差商是两个低一阶差商的差商）

	$0$阶差商	$1$阶差商	$2$阶差商	$3$阶差商	$\ldots$	$k-1$阶差商
$x_{0}$	$f[x_{0}]$
$x_{1}$	$f[x_{1}]$	$f[x_{0},x_{1}]$
$x_{2}$	$f[x_{2}]$	$f[x_{1},x_{2}]$	$f[x_{0},x_{1},x_{2}]$
$x_{3}$	$f[x_{3}]$	$f[x_{2},x_{3}]$	$f[x_{1},x_{2},x_{3}]$	$f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
$x_{k}$	$f[x_{k}]$	$f[x_{k-1},x_{k}]$	$f[x_{k-2},x_{k-1},x_{k}]$	$f[x_{k-3},x_{k-2},x_{k-1},x_{k}]$	$\ldots$	$f[x_{0},\ldots ,x_{k}]$

因此，牛顿多项式可以写作：

$N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1})$

参见

• 插值
• 多项式插值
• 拉格朗日插值法