根系

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數學中,根系歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群李代數代數群理論中格外重要;而根系分類的主要工具──鄧肯圖,也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。

定義[编辑]

為有限維實向量空間,並賦予標準的內積 中的根系是有限個向量(稱為)構成的集合 ,滿足下述條件:

<α, β> 的整性條件使得 β 必然落在所示各條垂直線上。再配合 <β, α> 的整性條件,在每條線上,其間交角只有兩種可能。
  1. 的元素張出
  2. 對任一 ,其屬於 的純量倍數只有
  3. 對任意 ,集合 在對 的反射之下不變。在此的反射是指
  4. (整性)若 ,則 方向的投影乘以2是 的整數倍,即:

根據性質三,整性等價於:對任意 僅差 的整數倍。此外,注意到性質四定義的尖積

並非一個內積,它未必對稱,而且只對第一個參數是線性的。

根系 定義為 的維度。

給定兩個根系 ,可考慮其正交直和 ,則 自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合(當然,假設 ),則稱之為不可約的。

對兩個根系 ,若存在其間的線性同構,使得 映至 ,則稱它們為同構的根系。

對於根系 ,對根的反射生成一個群,稱為該根系的外爾群。可證明此群在 上忠實地作用,因此必為有限群。

秩一與秩二的例子[编辑]

在同構的意義下,秩一的根系僅有一種,由兩個非零向量 組成。此根系記作

秩二的根系有四種,圖解如下:

秩二之根系
根系 A1×A1 根系 A2
根系 A1×A1
Dyn-node n1.pngDyn-2.pngDyn-node n2.png
根系 A2
Dyn-node n1.pngDyn-3.pngDyn-node n2.png
根系 B2 根系 G2
根系 B2
Dyn-node n1.pngDyn-4a.pngDyn-node n2.png
根系 G2
Dyn-node n1.pngDyn-6a.pngDyn-node n2.png

中的根系,而 中生成的子空間,則 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係,例如:任意兩根的交角僅可能是 度。

正根與單根[编辑]

對於根系 ,可以取定滿足下述條件的正根子集

  • 對每個根 中恰有一者屬於
  • 對任意 ,若 ,則

正根的取法並不唯一。取定一組正根後, 的元素被稱為負根

正根的選取等價於單根的選取。單根集是 中滿足下述條件的子集

任意 中的元素皆可唯一地表成 中元素的整係數線性組合,而且其係數或者全大於等於零,或者全小於等於零。

選定一組單根後,可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

以鄧肯圖分類根系[编辑]

不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題,由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下:

給定一個不可約根系,選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根 若不垂直,則有 個邊相連:若只有一個邊,則不取定向,否則則取自長度 長者(稱為長根)指向短者(稱為短根)的有向邊。

一個根系可以取多種不同的單根。然而,由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的,鄧肯圖的構造與單根的選取無關,它是根系內在的不變量。反之,給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系,可以按圖配對單根及其間的內積,從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一,但至多差一個正常數倍,因而得到的根系是同構的 。

藉此,可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系,則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的;配上這個條件後,即可解決根系的分類。

鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數,亦即相應根系的秩。

連通鄧肯圖一覽

不可約根系的性質[编辑]

I
An (n≥1) n(n+1)   n+1 (n+1)!
Bn (n≥2) 2n2 2n 2 2n n!
Cn (n≥3) 2n2 2n(n−1) 2 2n n!
Dn (n≥4) 2n(n−1)   4 2n−1 n!
E6 72   3 51840
E7 126   2 2903040
E8 240   1 696729600
F4 48 24 1 1152
G2 12 6 1 12

不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系:,其下標分別取遍 的正整數,稱為典型根系;剩下五種情形稱為例外根系。下標表示根系之秩。在上表中, 表示短根的個數(若諸根同長,則皆視為長根), 表示其嘉當矩陣行列式,而 表示外爾群之階。

不可約根系的構造方法及描述[编辑]

An[编辑]

中滿足 的點 所成之子空間。令 中長度為 的格子點。取 的標準基 ,則根具有 的形式,共有 個根。通常取單根為

對垂直於 超平面的鏡射在 上的作用是交換第 個座標。因此 的外爾群不外就是對稱群

是李代數 的根系。

Bn[编辑]

B4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   1

,並令 中長度為 的格子點。共有 個根。通常取單根為 (短根)。

對短根 的反射即

僅差一個縮放,因此通常僅考慮 的情形。 是李代數 的根系。

Cn[编辑]

C4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   2

中所有長度 的格子點與形如 的點,其中 是長度為一的格子點。共有 個根。通常取單根為 (長根)。

僅差一個縮放加上旋轉 45 度,因此通常僅考慮 的情形。 是李代數 的根系。

Dn[编辑]

D4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 1   1

中長度 的格子點。共有 個根。通常取單根為

同構於 ,故通常僅考慮 的情形。 是李代數 的根系。

E8, E7, E6[编辑]

是較為特殊的根系。首先定義 中滿足下述條件的點集

  • 各座標均為整數,或均為半整數(不容相混)。
  • 八個座標的和為偶數。

定義 中長度為 的向量,即:

定義 與超平面 之交, 其中 是任取的根。同樣步驟施於 ,得到更小的根系 。根系 分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟,則會得到典型根系

E8:偶坐標
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 1 1 0
 ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½

另一種等價的描述是取 為:

  • 各坐標均為整數,而且其和為偶數;或
  • 各坐標均為半整數,而且其和為奇數。

同構。將任意偶數個座標乘以負一,便可在兩者間轉換。 稱為 的偶坐標系, 稱為奇坐標系。

在偶坐標下,通常取單根為

E8:奇坐標
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 1 -1
 ½  ½  ½

在奇坐標下,通常取單根為

,其中

(在上述定義中,若改取 ,將得到同構的結果。若改取 ,將得到 。至於 ,其坐標和為零,而 亦然,所以張出的向量空間維度不合所求。

刪去 可得到 的一組單根;再刪去 ,可得 的單根。

由於對 垂直等價於前兩個坐標相等,而對 垂直等價於前三個座標相等,不難導出 的明確定義:

E7 = (αZ7 ∪ (Z+½)7:αi2 + α12 = 2,∑αi + α1 ∈ 2Z),

E6 = (αZ6 ∪ (Z+½)6:αi2 + 2α12 = 2,∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

F4[编辑]

F4
1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 0

對於 ,取 ,並令 為滿足下述條件的向量:

  • 各坐標皆為奇數或皆為偶數。

此根系有 個根。通常取單根為 的單根再加上

G2[编辑]

G2
1  -1   0
-1 2 -1

有 12 個根,構成一個六邊形的頂點,詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為

在此沿用了之前的符號:

根系與李群、李代數[编辑]

不可約根系的分類可用於研究下述對象:

文獻[编辑]

  • Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271 .
  • Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
  • Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59--127.

參見[编辑]