奥恩斯坦-乌伦贝克过程

在数学中，奥恩斯坦-乌伦贝克过程（Ornstein-Uhlenbeck process，简称OU过程）是一个随机过程，在金融数学和物理学中有很多的引用。OU过程描述一个经历摩擦的布朗粒子（damped random walk）。

这个过程以奥恩斯坦（Leonard Ornstein）和乔治·乌伦贝克的名字命名。

这是一个自迴歸模型AR(1)。

θ =1.0，σ =3和μ =(0,0) 粒子在(10,10)开始

定义

θ =1.0，σ =3, μ =(0,0,0) 粒子在(10,10,10)开始

OU过程有下面的随机微分方程

$dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}$

其中的 $\theta >0$ ， $\sigma >0$ 是参数，并且 $W_{t}$ 是维纳过程。

$dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}$

$\mu$ 是常值。上面的方程是Vasicek模型。

福克–普朗克方程

OU过程的福克–普朗克方程是

${\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}$

$D=\sigma ^{2}/2$。这是一个抛物偏微分方程。方程的解是

$P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x'e^{-\theta (t-t')})^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t')}}}\right]$

三个OU进程，θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
蓝：在a = 0 开始（几乎必然）
绿：在a=2开始
红：初始值呈正态分布

相关

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阅读

• Bibbona, E.; Panfilo, G.; Tavella, P. The Ornstein-Uhlenbeck process as a model of a low pass filtered white noise. Metrologia. 2008, 45 (6): S117–S126. Bibcode:2008Metro..45S.117B. doi:10.1088/0026-1394/45/6/S17. 
• Chan, K. C.; Karolyi, G. A.; Longstaff, F. A.; Sanders, A. B. An empirical comparison of alternative models of the short-term interest rate. Journal of Finance. 1992, 47 (3): 1209–1227. doi:10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x. 
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• Leung, Tim; Li, Xin. Optimal Mean Reversion Trading with Transaction Costs and Stop-Loss Exit. International Journal of Theoretical & Applied Finance. 2015, 18 (3): 1550020. arXiv:1411.5062 . doi:10.1142/S021902491550020X. 
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• Uhlenbeck, G. E.; Ornstein, L. S. On the theory of Brownian Motion. Phys. Rev. 1930, 36 (5): 823–841. Bibcode:1930PhRv...36..823U. doi:10.1103/PhysRev.36.823. 
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外部链接

• Review of Statistical Arbitrage, Cointegration, and Multivariate Ornstein–Uhlenbeck （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Attilio Meucci
• A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, Damiano Brigo, Antonio Dalessandro, Matthias Neugebauer and Fares Triki
• Simulating and Calibrating the Ornstein–Uhlenbeck process, M. A. van den Berg
• Maximum likelihood estimation of mean reverting processes （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Jose Carlos Garcia Franco
• Interactive Web Application: Stochastic Processes used in Quantitative Finance. [2015-07-03]. （原始内容存档于2015-09-20）.