等化子

在数学的范畴论分支，若干个函数的等化子（英语：equaliser）是使其值相等的参数的集合。换言之，两个函数$f,g$的等化子，是方程$f(x)=g(x)$的解集。仅得两个函数时，也称为其差核，因为等于两个函数之差的核。

定义

设$X$与$Y$为集合。又设$f,g$为从$X$至$Y$的函数。则$f$与$g$的等化子为$X$中所有满足$f(x)=g(x)$的元素$x$的集合，以符号表示为：

$\operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.$

等化子可以表示成$\mathrm {Eq} (f,g)$或类似的符号，如改成小楷$\mathrm {eq}$。有时非正式地写成$\{f=g\}$。

上述定义用到两个函数$f,g$，但其实不必限制为两个函数，甚至不必为有限多个函数。一般而言，若${\mathcal {F}}$是一族函数，从$X$映向$Y$，则${\mathcal {F}}$的元素的等化子，是使$f(x)$对所有$f\in {\mathcal {F}}$皆相等的元素$x\in X$的集合。以符号表示：

$\operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.$

若${\mathcal {F}}$可以写成$\{f,g,h,\ldots \}$，则等化子亦记为$\mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )$。此情况下，亦可非正式地写成$\{f=g=h=\cdots \}$。

作为一般定义的退化，考虑${\mathcal {F}}$为单元集$\{f\}$。由于$f(x)$必然等于自己，等化子等于整个定义域$X$。更退化的情况下，设${\mathcal {F}}$为空集。则等化子仍为全个定义域$X$，因为条件的全称量化命题为空真命题。

差核

二元的等化子（即两个函数的等化子）又称差核（英语：difference kernel）。$f,g$的差核可以记为$\mathrm {DiffKer} (f,g)$、$\mathrm {Ker} (f,g)$、$\mathrm {Ker} (f-g)$。最后一种写法表明名称的由来，是两个函数之差的核，而且抽象代数中，该写法亦最常用。此外，单一个函数$f$的核，可以作为差核$\mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})$找到，其中${\boldsymbol {0}}$表示取零值的常数函数。

以上假设核的意义如同抽象代数中，解作某函数作用下，$0$的原像，但在范畴论定义中，并不一定。

范畴论

等化子可以用泛性质定义，以将此概念从集合范畴推广到任意的范畴。

一般地，在任意范畴中，设$X,Y$为物件，而$f,g$为自$X$往$Y$的态射。此两件物件及两个态射组成该范畴的一幅图，而$f,g$的等化子，则是该图表的极限。

具体而言，等化子是物件$E$与态射$\mathrm {eq} :E\to X$的整体，满足$f\circ eq=g\circ eq$，且对任意物件$O$与态射$m:O\to X$，若有$f\circ m=g\circ m$，则存在唯一的态射$u:O\to E$，使得$\mathrm {eq} \circ u=m$。

其中态射$m:O\rightarrow X$满足的条件，即$f\circ m=g\circ m$，又称为等化（英语：equalise）$f$与 $g$。

在泛代数范畴，例如有定义差核的范畴，或集合范畴$\mathbf {Set}$，物件$E$总可以按原始定义（即$\{x:f(x)=g(x)\}$）选取，而相应的态射$\mathrm {eq}$则是$E$作为$X$子集的包含映射。

可以直接推广到多于两支态射的情况，只要用在图中，添加更多支态射，然后再取极限便可。同样，只有一支态射的退化情况也很直接，而$\mathrm {eq}$可以取为任何由$E$至$X$的同构。

但是，无态射的退化情况较为特殊，要较仔细画出正确的图。一开始，可能会尝试画出物件$X$和$Y$，然后不加任何态射。然而，此为不正确，因为该图的极限，是$X$和$Y$的范畴论积，而非所求的等化子（应为$X$）。正确观念是，等化子的定义，与定义域$X$密切相关（例如在集合范畴的情况下，$X$出现在定义式中），但与$Y$的关联则仅在于$Y$是图中态射的陪域。 所以，若无态射，则$Y$不必出现，故图仅有$X$。此图的极限，是任何$E$与$X$间的同构。

可以证明，任意范畴中的等化子，皆为单态射。反之，若逆命题成立，即单态射皆为某两支态射的等化子，则该范畴（在单态射意义下）称为正则（英语：regular）。更一般地，任意范畴中，正则单态射是某族态射的等化子。也有作者更严格，要求其为某两个态射的二元等化子。然而，若所考虑的范畴完备，则两种定义一致。

范畴论中，也有差核的概念。术语“差核”在范畴论各处也常用作描述二元等化子。预可加范畴中（于阿贝尔群范畴上浓缩的范畴，粗略而言，即每个态射集$\mathrm {Hom} (A,B)$皆具阿贝尔群结构），“差核”一词能逐字理解，因为两支（相同端点的）态射之差有定义，即$\mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)$，其中$\mathrm {Ker}$表示范畴论核。

若范畴有拉回（纤维积）及积，则有等化子。

参见

• 余等化子，等化子的对偶概念，将定义中所有态射的方向反转而得。
• 重合理论，不动点理论的推广，拓扑学中，研究拓扑空间等化子的理论。
• 拉回，可以用等化子和范畴论积构造的一类极限。

外部链接

• nLab的Equalizer条目

• 一个互动网站，给出有限集范畴中的等化子例子。由Jocelyn Paine编写。