等化子

在數學的範疇論分支，若干個函數的等化子（英語：equaliser）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數$f,g$的等化子，是方程$f(x)=g(x)$的解集。僅得兩個函數時，也稱為其差核，因為等於兩個函數之差的核。

定義

設$X$與$Y$為集合。又設$f,g$為從$X$至$Y$的函數。則$f$與$g$的等化子為$X$中所有滿足$f(x)=g(x)$的元素$x$的集合，以符號表示為：

$\operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.$

等化子可以表示成$\mathrm {Eq} (f,g)$或類似的符號，如改成小楷$\mathrm {eq}$。有時非正式地寫成$\{f=g\}$。

上述定義用到兩個函數$f,g$，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為有限多個函數。一般而言，若${\mathcal {F}}$是一族函數，從$X$映向$Y$，則${\mathcal {F}}$的元素的等化子，是使$f(x)$對所有$f\in {\mathcal {F}}$皆相等的元素$x\in X$的集合。以符號表示：

$\operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.$

若${\mathcal {F}}$可以寫成$\{f,g,h,\ldots \}$，則等化子亦記為$\mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )$。此情況下，亦可非正式地寫成$\{f=g=h=\cdots \}$。

作為一般定義的退化，考慮${\mathcal {F}}$為單元集$\{f\}$。由於$f(x)$必然等於自己，等化子等於整個定義域$X$。更退化的情況下，設${\mathcal {F}}$為空集。則等化子仍為全個定義域$X$，因為條件的全稱量化命題為空真命題。

差核

二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱差核（英語：difference kernel）。$f,g$的差核可以記為$\mathrm {DiffKer} (f,g)$、$\mathrm {Ker} (f,g)$、$\mathrm {Ker} (f-g)$。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的核，而且抽象代數中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數$f$的核，可以作為差核$\mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})$找到，其中${\boldsymbol {0}}$表示取零值的常數函數。

以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下，$0$的原像，但在範疇論定義中，並不一定。

範疇論

等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。

一般地，在任意範疇中，設$X,Y$為物件，而$f,g$為自$X$往$Y$的態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅圖，而$f,g$的等化子，則是該圖表的極限。

具體而言，等化子是物件$E$與態射$\mathrm {eq} :E\to X$的整體，滿足$f\circ eq=g\circ eq$，且對任意物件$O$與態射$m:O\to X$，若有$f\circ m=g\circ m$，則存在唯一的態射$u:O\to E$，使得$\mathrm {eq} \circ u=m$。

其中態射$m:O\rightarrow X$滿足的條件，即$f\circ m=g\circ m$，又稱為等化（英語：equalise）$f$與 $g$。

在泛代數範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇$\mathbf {Set}$，物件$E$總可以按原始定義（即$\{x:f(x)=g(x)\}$）選取，而相應的態射$\mathrm {eq}$則是$E$作為$X$子集的包含映射。

可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而$\mathrm {eq}$可以取為任何由$E$至$X$的同構。

但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件$X$和$Y$，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是$X$和$Y$的範疇論積，而非所求的等化子（應為$X$）。正確觀念是，等化子的定義，與定義域$X$密切相關（例如在集合範疇的情況下，$X$出現在定義式中），但與$Y$的關聯則僅在於$Y$是圖中態射的陪域。 所以，若無態射，則$Y$不必出現，故圖僅有$X$。此圖的極限，是任何$E$與$X$間的同構。

可以證明，任意範疇中的等化子，皆為單態射。反之，若逆命題成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為正則（英語：regular）。更一般地，任意範疇中，正則單態射是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇完備，則兩種定義一致。

範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中（於阿貝爾群範疇上濃縮的範疇，粗略而言，即每個態射集$\mathrm {Hom} (A,B)$皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即$\mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)$，其中$\mathrm {Ker}$表示範疇論核。

若範疇有拉回（纖維積）及積，則有等化子。

參見

• 餘等化子，等化子的對偶概念，將定義中所有態射的方向反轉而得。
• 重合理論，不動點理論的推廣，拓撲學中，研究拓撲空間等化子的理論。
• 拉回，可以用等化子和範疇論積構造的一類極限。

外部鏈結

• nLab的Equalizer條目

• 一個互動網站，給出有限集範疇中的等化子例子。由Jocelyn Paine編寫。