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算术基本定理

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算术基本定理,又称为正整数的唯一分解定理,即:每个大于1的自然数,若不是本身就是质数,就是可写为2个以上的质数的,而且这些质因子按大小排列之后,写法仅有一种方式。例如:

算术基本定理的内容由两部分构成:

  • 分解的存在性:
  • 分解的唯一性,即若不考虑排列的顺序,正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

证明[编辑]

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说,欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题:若质数,则不是 ,就是。然而,在欧几里得的时代,并没有发展出幂运算和指数的写法,甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的,所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

必然性[编辑]

反证法:假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积,把最小的那个称为n。

自然数可以根据其可除性(是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积)分成3类:质数、合数和1。首先,按照定义,大于1。其次,不是质数,因为质数可以写成质数乘积:,这与假设不相符合。因此只能是合数,但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设,其中都是介于1和之间的自然数,因此,按照的定义,都可以写成质数的乘积。从而 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性[编辑]

引理:若质数,则不是 ,就是

引理的证明:若 则证明完毕。若,那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理,存在 使得。于是。 由于,上式右边两项都可以被p整除。所以

再用反证法:假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积,那么假设是最小的一个。

首先不是质数。将用两种方法写出: 。根据引理,质数 ,所以 中有一个能被整除,不妨设为。但也是质数,因此 。所以,比小的正整数也可以写成 。这与 的最小性矛盾!

因此唯一性得证。

相关[编辑]

在一般的数域中,并不存在相应的定理;事实上,在虚二次域 之中,只有少数几个能满足,最大的一个 。例如,可以以两种方式在 中表成整数乘积:。同样的,在分圆整数中一般也不存在唯一分解性,而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。

欧几里得在普通整数 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积,高斯则在复整数 中得出并证明,只要不计四个可逆元素 之作用,那么这个唯一分解定理在 也成立。高斯还指出,包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

高斯类数[编辑]

对于二次方程:,它的根可以表示为:

因为负数不能开平方,的符号就很重要,如果为正,有两个根;如果为0,只有一个根;如果为负,没有实根。欧拉的素数公式: 两个复数解为:

哪个值可以得到唯一分解定理? 皆可得到定理,但当时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解(分解至不可分约的情形)。 。在高斯时代,已知有9个使得所产生的数有唯一因子分解(如上面指出那样取值)。 高斯认为的数量不会超过10个,但是没有人能够证明。 1952年,业余数学家,退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳英语Kurt Heegner(Kurt Heegner)发表了他的证明,声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理:麻省理工学院的斯塔克(Harold Stark)和剑桥大学的阿兰贝克(AlanBaker)独立用不同方法证明了第10个值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作,发现他的证明是正确的。 为了纪念长期被忽视的希格内尔,上述的9个数被称为黑格纳数,一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

外部链接[编辑]