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統計流形

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數學中,統計流形是每點都代表一概率分布黎曼流形,為信息幾何提供了研究對象。費希爾信息度量提供了流形上的度量張量。根據這定義,對數似然函數可微映射分數包含映射[1]

示例

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所有正態分布可視為2維參數空間,參數為期望方差。由費希爾信息矩陣給出的黎曼度量可得統計流形,其幾何模型是雙曲幾何。通過費希爾信息推斷參數方程而非從似然函數出發,是繪製流形的一種方法。

統計流形的簡單例子是物理學中的正則系綜:是1維流形,溫度T是坐標。對任何常溫T,都有概率空間:因此對原子氣體而言,它就是原子速度的概率分布,會隨T的變化而變化。

另一個簡單例子來自醫學,即病人治癒概率分布與給藥量的關係。在固定劑量下,有些病人的病情有所改善,有些則沒有,這就是基本概率空間。若改變劑量,結果概率也會變化,因此劑量就是流形上的坐標。要成為微分流形,就要根據劑量的任意微小變化測量結果,這並不實際可行,除非已有了劑量-反映數學模型,其中劑量可以任意變化。

定義

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X可定向流形,使X上的測度。等價地,令為關於概率空間,其中σ-代數與概率

X的統計流形S(X)定義為X上所有測度(σ-代數不變)。注意這空間是無窮維的,通常認為是弗雷歇空間S(X)的點都是測度。

與其處理無窮維空間S(X),不如處理有限維子流形,由一組由光滑、連續變化的參數參數化的概率分布給出定義即可。也就是說,只考慮由參數選擇的測度。若參數n維的,那麼子流形一般也是n維。所有有限維統計流形都可這樣理解。[需要解釋]

另見

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參考文獻

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  1. ^ Murray, Michael K.; Rice, John W. The definition of a statistical manifold. Differential Geometry and Statistics. Chapman & Hall. 1993: 76–77 [2023-11-09]. ISBN 0-412-39860-5. (原始內容存檔於2023-11-09).