1 − 2 + 3 − 4 + …

1 − 2 + 3 − 4 + …的前几千项相加结果示意图

在数学中，1 − 2 + 3 − 4 + …为首项为1，每项正负号交替出现且为连续正整数的无穷级数。使用Σ符号表示前m项之和可写作：

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

此无穷级数发散，即其部分和的序列（1, −1, 2, −2, …）不会趋近于任一有穷极限。此可等价地认为1 − 2 + 3 − 4 + …不存在和。

不过，在18世纪中期，莱昂哈德·欧拉写出了一个他承认为悖论的等式：

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

该等式的严密解释在很久以后才出现。1890年初，恩纳斯托·切萨罗、埃米尔·博雷尔与其他一些数学家研究出了定义明确（well-defined）的方法，来为有穷极限确定广义级数的和——其中包含了欧拉所寻找的新解释。大部分这些可求和法最终可简单地确定1 − 2 + 3 − 4 + …的“和”为¹⁄₄。切萨罗求和（Cesàro summation）是少数几种不能计算出1 − 2 + 3 − 4 + …之和的方法。因此此级数是需要某个略强的方法——譬如阿贝耳求和（Abel summation）——的例子。

级数1, −1, 2, −2, …与格兰第级数（Grandi's series）1 − 1 + 1 − 1 + …有较近的联系。欧拉将此二级数视作1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …对任意n的特殊情况；这是他在巴塞尔问题（Basel problem）上所作工作的一个延伸研究方向，并导向了泛函方程——即我们现在所知的狄利克雷η函数与黎曼ζ函数。

发散

级数项（1, −2, 3, −4, …）没有趋近于0；因此可通过项测试（term test）来确定1 − 2 + 3 − 4 + …发散。作为后文的参考，此方法也常被用于从基础级上预见发散。从定义可知，无穷级数的收敛或发散是由其部分和的收敛或发散确定的，1 − 2 + 3 − 4 + …的部分和为：

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

此序列的一个显著的特点是每个整数都出现了一次——如果将空部分和计入还包括0——因此其可数集为整数集$\mathbb {Z}$。很明显的，不可能让变化的结果辐合到一个确定的数，因此1 − 2 + 3 − 4 + …发散。

求和的启发

稳定性与线性

由于各项 1, −2, 3, −4, 5, −6, … 以一种简单模式排列，级数1 − 2 + 3 − 4 + …可表示为它自己的变换形式（概略的说法），而因此所得的方程解取得一数值。暂时假设写作s = 1 − 2 + 3 − 4 + …有意义——其中的s为常数，然后再处理s =¹⁄₄:的问题：

复制4份 1 − 2 + 3 − 4 + …，仅使用移动与项项相加，结果为1。左右两边的两个1 − 2 + 3 − 4 + …副本相互抵消，并得出1 − 1 + 1 − 1 + …。

4 s	=	(1 − 2 + 3 − 4 + …)	+	(1 − 2 + 3 − 4 + …)	+	(1 − 2 + 3 − 4 + …)	+	(1 − 2 + 3 − 4 + …)
	=	(1 − 2 + 3 − 4 + …)	+ 1 +	(−2 + 3 − 4 + 5 - …)	+ 1 +	(−2 + 3 − 4 + 5 - …)	− 1 +	(3 − 4 + 5 - 6 + …)
	= 1 +	((1 - 2 - 2 + 3)	+	(-2 + 3 + 3 - 4)	+	(3 - 4 - 4 + 5)	+	(-4 + 5 + 5 - 6) + …)
4 s	= 1 +	(0 + 0 + 0 + 0 …)	= 1,

因此，s =¹⁄₄.，如右图所示。

尽管1 − 2 + 3 − 4 + …没有通常意义的和，等式s = 1 − 2 + 3 − 4 + … =¹⁄₄却可被赋予另外一种意义。离散级数之“和”的一种普遍定义被称为一种求和法（summation method）或可和法（summability method）——对所有可能级数的一些子集求和。有许多种不同的方法（部分将在下文中出现），这些方法有着与常数求和所共有的特性。以上的处理实际上都可由下述所证明：给出任意的线形且稳定的可和法，并计算级数1 − 2 + 3 − 4 + …，结果为¹⁄₄。此外，由于：

2 s	=	(1 − 2 + 3 − 4 + …)	+	(1 − 2 + 3 − 4 + …)
	= 1 +	(−2 + 3 − 4 + …)	+ 1 - 2 +	(3 − 4 + 5 - …)
	= 0 +	((-2 + 3)   +   (3 - 4)   +   (-4 + 5)   +   (5 - 6)   +   …)
½	= 1 - 1 + 1 - 1 …,

故此方法也一定能对格兰第级数求和，并得结果为1 − 1 + 1 − 1 + … =¹⁄₂。

以上为1 − 2 + 3 − 4 + …的一般和限制了可能的值，但依然不能首先显现出哪种方法能或不能计算出此级数来。事实上，一些线形且稳定的可和法，譬如常数求和，是无法计算出1 − 2 + 3 − 4 + …的。看待此级数的不同眼光有助于确定哪些方法可计算出¹⁄₄：表现为积的形式。

柯西乘积

1891年，, 恩纳斯托·切萨罗（Ernesto Cesàro）表示了将分散级数严密地带入微积分学的愿望，并指出：“已可写出(1 − 1 + 1 − 1 + …)² = 1 − 2 + 3 − 4 + …并断定两边均等于¹⁄₄。”对切萨罗而言，这个等式是他前几年发表的一个定理的应用，该定理也许是历史上可求和的发散级数的第一个定理。关于此求和法的详细内容请见下文；其中心思想是1 − 2 + 3 − 4 + …是1 − 1 + 1 − 1 + …对1 − 1 + 1 − 1 + …的柯西乘积（Cauchy product）。

File:Pm1234 Cauchy.svg

1 − 2 + 3 − 4 + … 以 1 − 1 + 1 − 1 + … 的二重柯西乘积出现

两个无穷级数的柯西乘积可被确定，即使在他们都发散的时候。在 Σa_n= Σb_n= Σ(−1)ⁿ 的情况下，柯西乘积的项可由有穷对角线求和的方式给出：

${\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}$

积级数为：

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .$

这样一种考虑到两个级数的柯西乘积与1 − 1 + 1 − 1 + … =¹⁄₂结果的求和法，也能够求出1 − 2 + 3 − 4 + … =¹⁄₄。由前部分的结果可知，当方法是线形、稳定并考虑到柯西乘积的时候，1 − 1 + 1 − 1 + …与1 − 2 + 3 − 4 + …的可求和之间是等价的。

切萨罗的定理是一个深奥的例子。级数1 − 1 + 1 − 1 + …在最弱的意义上是切萨罗可求和，称作(C, 1)-可求和，然而1 − 2 + 3 − 4 + …则需要切萨罗的定理的一个更强的形式，表示为(C, 2)-可求和。由于切萨罗的定理的所有形式均为线形且稳定的，所得的值正是此前计算所得的。

特殊方法

切萨罗与赫尔德

关于¹⁄₄的(H, 2)和的数据

要找到1 − 2 + 3 − 4 + &hellip的(C, 1)切萨罗和，如果它存在，就需要计算该级数部分和的算术平均值。 部分和为：

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

这些部分和的算术平均值为：

1, 0,²⁄₃, 0,³⁄₅, 0,⁴⁄₇, ….

此平均值序列没有辐合，因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 不是切萨罗可求和。

切萨罗求和有两种有名的广义化：让这些在概念上更简单的是(H, n)法的序列，其中n为自然数。(H, 1)和为切萨罗求和，更高的方法则重复平均值的计算。在上文中，偶数平均值趋近于¹⁄₂，奇数平均值则全部等于0，所以平均值的平均值趋近于 0 与¹⁄₂的平均数，即¹⁄₄。因此，1 − 2 + 3 − 4 + …是(H, 2)-可求和为¹⁄₄。

符号“H”代表奥图·赫尔德。1882年，他第一次证明了被现在数学家们所看作的在阿贝耳求和与(H, n)求和之间的关系；1 − 2 + 3 − 4 + …是第一个例子。¹⁄₄是1 − 2 + 3 − 4 + …的(H, 2)和这个事实也保证了它是阿贝耳和；这些都将在下文直接予以证明。

另外一个普遍明确的切萨罗求和的广义化，是(C, n)法的序列。已经证明了(C, n)求和与(H, n)求和均能给出相同的结果，但是它们却有不同的历史背景。在1887年，切萨罗已经接近于陈述出(C, n)求和的定义了，但是他只给出了少量的例子。特别的，他在计算1 − 2 + 3 − 4 + …,为¹⁄₄时所采用的方法可能是(C, n)的另一种描述，但是在当时并没有对其进行证明。他在1890年正式定义了(C, n)法，以陈述他的定理：一个(C, n)-可求和级数与一个(C, m)-可求和级数的柯西乘积是(C, m + n + 1)-可求和。

阿贝耳求和

1−2x+3x²+…; 1/(1 + x)² 的一部分；其极限为1

在一份1749年的报告中，莱昂哈德·欧拉承认了级数发散，但准备用任何方式对其求和：

……当该级数 1−2+3−4+5−6 等 的和为¹⁄₄时，那肯定出现了悖论。对该级数的100项相加，我们得到了–50，但是，101项的和却给出+51，这与¹⁄₄是截然不同的，而且这种差距还会随着项数增加而变得更大。不过我在前一段时间已经注意到了，有必要给“和”这个词赋予一个更加广泛的意义……。

欧拉曾几次提议将“和”这个词广义化；参见欧拉与无穷级数（Euler on infinite series）。在1 − 2 + 3 − 4 + …,的情况下，他的设想与现在所知的阿贝耳求和相似：

……毫无疑问，级数 1−2+3−4+5+更多 的和为¹⁄₄；由于它是由公式¹⁄_(1+1)²展开而成，而此公式的值明显为¹⁄₄。在考虑一般级数 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + &c后这个概念变得更明晰了。这个一般级数是由表达式¹⁄_(1+x)²展开而成，当我们让 x = 1 后，这个级数就确确实实地相等了。

在当绝对值 |x| < 1 时，有许多方式去验证欧拉的下列等式正确：

$1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.$

可以将泰勒展开式的右边拿掉，或使用正规的多项式长除（long division process for polynomials）。从左方开始，可采用上文的一般启发式并尝试乘以两次(1+x)，或对几何级数1 − x + x² − …求平方。欧拉似乎也提出可以对后者级数的每项求微分。

以现代的眼光看，级数 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … 并没有定义一个在x = 1时的函数，因此其值不能简单地被替换为结果表达式。由于函数被定义为满足所有的|x| < 1，所以仍可取得x趋近于1的极限，而这就是阿贝耳和的定义：

$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.$

欧拉与波莱尔

¹⁄₂−¹⁄₄的欧拉求和

欧拉对该级数还使用了另外一种技巧：欧拉变换，这是他自己的发明。要计算欧拉变换，首先要有可形成交错级数的正项序列——在此情况下为1, 2, 3, 4, …。将此序列中的首项标示为 a₀。

下一步需要1, 2, 3, 4, …的前向差分；这恰好是1, 1, 1, 1, …。将该序列的首项标示为 Δa₀。欧拉变换也基于差分的差分，以及更高的叠函数，但是1, 1, 1, 1, …的前向差分为0。1 − 2 + 3 − 4 + …的欧拉变换便可定义为：

${\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.$

用现代术语来说，1 − 2 + 3 − 4 + …是欧拉可求和并为¹⁄₄。

欧拉可求和也包含有另一种可求和法。将1 − 2 + 3 − 4 + …表示为：

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),$

就有了相关的处处收敛级数：

$a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x).$

因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波莱尔和为：

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.$

比例分离

赛切夫与Woyczyński只通过两个物理原理便得出了1 − 2 + 3 − 4 + … =¹⁄₄，这两个原理分别是：近零张弛（infinitesimal relaxation）与比例分离（separation of scales）。为了表示得精确，他们为这些原理定义了一系列的“φ-求和法”，所有这些方法都可以将级数求和得¹⁄₄：

• 如果φ(x)是一个函数，其一、二阶导数在(0, ∞)上是连续可积分的，这样的话φ(0) = 1 ，并且φ(x)的极限与xφ(x)在+∞时的值均为0，然后：

$\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.$

该结果推广了阿贝耳求和，当取φ(x) = exp(−x)时可得到先前的等式。此一般陈述可通过将关于m的级数中的项配对，并将表达式变换为黎曼积分的形式予以证明。在后一步中，对1 − 1 + 1 − 1 + …的相应证明运用了中值定理，但在这里需要泰勒公式中更强的拉格朗日形式。

广义化

1755年的《Institutiones》上，欧拉对相似的级数求和

1 − 1 + 1 − 1 + …的三倍柯西积为1 − 3 + 6 − 10 + …，为三角形数的交错级数；其阿贝耳与欧拉和为¹⁄₈。1 − 1 + 1 − 1 + …的四倍柯西积为1 − 4 + 10 − 20 + …，为四面体数的交错级数，这个的阿贝耳和为¹⁄₁₆。

另一个1 − 2 + 3 − 4 + …在略微不同的方向的广义化是级数1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …，使用了另外的值n。对正整数n来说，此级数有下列的阿贝耳和：

$1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}$

其中B_n是伯努利数。对偶数n，则变为：

$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0.$

后一个和在1826年成为尼尔斯·亨利克·阿贝尔特别嘲笑的对象： 如果用到它们 想要的

“发散级数纯粹是魔鬼的工作，胆敢去找到任何证明它们的行为都是羞耻的。如果用到它们，可以从中获得想要的东西；同时也是它们，制造了如此多的不愉快与如此多的悖论。试问能想到比下面内容更令人惊恐的东西吗：

0 = 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + etc.

其中，n为正数。这是一个笑料，朋友。”

切萨罗的老师欧仁·查理·卡塔兰也轻视发散级数。在卡塔兰的影响下，切萨罗早期提出1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …的“习用式”是“荒谬的等式”；而在1883年，切萨罗表明了当时的一个典型看法：公式是错的，不过在某些场合在形式上是有用的。最后，在他1890年的书《Sur la multiplication des séries》中，切萨罗使用了一个接近于定义的模型。

此级数亦研究过n为非线性值的情况；这产生了狄利克雷η函数。欧拉研究1 − 2 + 3 − 4 + …相关级数的部分动机是η函数的泛函方程，这直接导向了黎曼ζ函数的泛函方程。欧拉在正偶整数（包括在巴塞尔问题中）时找到这些函数值的建树已让他闻名世界，他也试图找到正奇整数(包括在Apéry's constant中) 时的值，但这个问题直到今天都是令人困惑的。η函数通过欧拉的方法解决会更加简单，因为它的狄利克雷级数是处处阿贝耳可求和；η函数的狄利克雷级数非常难以对发散的部分求和。例如，1 − 2 + 3 − 4 + …在η函数中的相似级数是非交错级数1 + 2 + 3 + 4 + …，该级数在现代物理学上有很深的应用，不过需要非常强的方法才能求和。

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