反函數：修订间差异
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[[File:Inverse Function.png|thumb|函数ƒ和它的反函数ƒ<sup>–1</sup>。由于ƒ把''a''[[映射]]到3，因此反函数ƒ<sup>–1</sup>把3映射回到''a''。]] |
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在[[數學]]裡，'''反函數'''，也称为'''逆函数'''（{{lang-en|Inverse function}}），為對一個定函數做逆運算的[[函數]]。 |
在[[數學]]裡，'''反函數'''，也称为'''逆函数'''（{{lang-en|Inverse function}}），為對一個定函數做逆運算的[[函數]]。 |
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==定义== |
== 定义与存在性 == |
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設<math>f</math>為一函數，其[[定义域|定義域]]為<math>X</math>，[[ |
設<math>f</math>為一函數，其[[定义域|定義域]]為<math>X</math>，[[陪域]]為<math>Y</math>。如果存在一函數<math>g</math>，其定義域和陪域分別為<math>Y,\, X</math>，並對任意<math>x \in X</math>有 |
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<math>g(f(x))=x</math>、對任意<math>y \in Y</math>有<math>f(g(y))=y</math>，則稱<math>g</math>為<math>f</math>的反函數，記之為<math>f^{-1}</math>。{{notetag|此种写法易与一个数的<math>-1</math>次[[冪]]混淆，尤其在[[三角函数]]中，<math>\sin^{2}(x)</math>表示<math>\sin(x)</math>的[[平方]]，但<math>\sin^{-1}(x)</math>表示[[反正弦]]在<math>x</math>处的值，而非<math>\frac {1} {\sin(x)}</math>。}} |
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則稱<math>g</math>為<math>f</math>的反函數，記之為<math>f^{-1}</math>。{{notetag|注意上標「−1」指的並不是[[冪]]，跟在[[三角學]]裡特指<math>\sin x</math>平方的<math>\sin^2 x</math>不同。}} |
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若一函數有反函數，便稱此函數'''可逆'''。一函數可逆的[[充分必要条件]]是该函数为[[双射]]，即同时为[[单射]]和[[满射]]。<ref>{{cite book |last=Smith |first=Geoff |year=1998 |title=Introductory Mathematics: Algebra and Analysis |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4471-0619-7 |location=London |publisher=Springer-Verlag |page=30 |isbn=978-1-4471-0619-7}}</ref> |
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例如，若給定一函數<math>f: x\mapsto 3x+2</math>，則其反函數為<math>f^{-1}: x\mapsto\frac{x-2}{3}</math>。 |
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若一函數有反函數，此函數便稱為'''可逆的'''。 |
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若<math>f</math>為一[[实函数]]，还可通過[[水平線測試]]判断其是否为单射、满射或双射。 |
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== 簡單規則 == |
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一般而言，當<math>f(x)</math>為一任意函數，且<math>g</math>為其反函數，則<math>g(f(x))=x</math>，<math>f(g(y))=y</math>。換句話說，反函數撤销了原函數的运算。 |
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== 与限制的关系 == |
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在上述例子，可以證明<math>f^{-1}</math>確為反函數，以將<math>\frac{x-2}{3}</math>代入<math>f</math>的方式，如此 |
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一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的[[限制 (數學)|限制]]是可逆的。<ref>{{cite encyclopedia |title=inverse function |encyclopedia=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics |year=2014 |last1=Clapham |first1=Christopher |last2=Nicholson |first2=James |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-175902-4 |url=https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199679591.001.0001/acref-9780199679591-e-1523}}</ref>例如 |
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: <math>3\times \frac{x-2}{3}+2 =x</math>。 |
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:<math>f: \mathbb{R} \to [0,\infty),\, f(x)=x^2</math> |
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<math>f</math>并不是单射，因<math>f(1)</math>和<math>f(-1)</math>均为<math>1</math>。但若取其到<math>[0,\infty)</math>上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数 |
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:<math>{f _{|_{[0, - \infty)}}}^{- 1} (x) = \sqrt{x}.</math> |
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[[反三角函数]]是限制定义域的另一个例子。[[正弦]]、[[余弦]]等[[三角函数]]具有周期性，如 |
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類似地，也可以將''<math>f</math>''代入<math>f^{-1}</math>來證明。 |
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这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如[[反正弦函数]]通常定义为正弦函数到<math>\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]</math>上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的[[值域]]，称作其{{le|主值|Principal value}}。 |
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確實，''<math>f</math>''的反函數''<math>g</math>''的一等價定義，就是<math>g\circ f</math>為於''<math>f</math>''定義域上的[[恆等函數]]，且<math>f\circ g</math>為''<math>f</math>''值域上的恆等函數。 |
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{{notetag|其中的"<small>o</small>"表示[[函數複合]]}} |
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== 存在性 == |
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如果一函數''<math>f</math>''有反函數，''<math>f</math>''必須是一[[雙射]]函數，即： |
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* [[單射]]：[[陪域]]上的每一元素都只被''<math>f</math>''映射至多一次。 |
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* [[滿射]]：陪域上的每一元素都必須被''<math>f</math>''映射到。 |
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不然將沒有辦法對某些元素定義''<math>f</math>''的反函數。 |
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設''<math>f</math>''為一[[实函数]]。若''<math>f</math>''有一反函數，它必通過[[水平線測試]]，即一放在''<math>f</math>''[[函数图形|圖]]上的水平線<math>y=k</math>必對所有[[實數]]<math>k</math>，至多通過一次。換言之，當''<math>k</math>''位於''<math>f</math>''的值域時，<math>y=k</math>恰好通過''f''圖一次。 |
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== 另見 == |
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2023年12月29日 (五) 23:02的最新版本
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在數學裡，反函數，也称为逆函数（英語：Inverse function），為對一個定函數做逆運算的函數。
定义与存在性[编辑]
設為一函數，其定義域為，陪域為。如果存在一函數，其定義域和陪域分別為，並對任意有 、對任意有，則稱為的反函數，記之為。[註 1]
若一函數有反函數，便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。[1]
若為一实函数，还可通過水平線測試判断其是否为单射、满射或双射。
与限制的关系[编辑]
一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。[2]例如
并不是单射，因和均为。但若取其到上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数
反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性，如
这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如反正弦函数通常定义为正弦函数到上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称作其主值。
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
性質[编辑]
- 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
- 原函数与其反函数的函数图像关于函数的图像对称。
- 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
- 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如
注释[编辑]
参考资料[编辑]
- ^ Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30. ISBN 978-1-4471-0619-7.
- ^ Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.