双体模型

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统计力学图论中,双体模型(dimer model)是二维空间 密鋪的模型,也称为骨牌密鋪(Domino tiling,多米诺密鋪)或随机密铺模型(random tiling model)。这也是平方格子完美匹配[1][2][3][4]

8x8平方骨牌密鋪

介绍[编辑]

若有 平方格子G、以及 把骨牌,覆盖数量或密铺数量是[5][6][1]

K是G的邻接矩阵。 Z也是统计力学的配分函数[7]

例如:

若G是环面,则

其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数[7]

疊蓆密鋪

阿兹特克钻石与北极圈现象[编辑]

Z也依赖格子的边界(参看阿兹特克钻石英语Aztec diamond)。

阿兹特克钻石表示所谓的「北极圈的现象」(Arctic circle phenomena),即边界看起来很同质(冰冻地区),但是中间的“北极圈”不同质(非冰冻地区)。可以使用高度函数解释这个现象。[7][4]

这些文章有更多阿兹特克图:[7][3][4]

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html

高度函数[编辑]

一个密铺定义一个0微分形式(函数):

s是自旋(参看易辛模型)、v是顶点。那么可以定义一个1-形式

这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数

若双体e存在,,不然等于0。高度差函数[7]

这个函数定义一个的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若真的是密铺函数,这是一个必要条件。h是高度函数

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。[7]的确,CKP定理[7]说h最小化一个(或热力学自由能)的泛函变分法):

共形场论[编辑]

高斯自由场[编辑]

双体模型的缩放极限(即高度函数的缩放极限是高斯自由场)[7],高斯自由场是一种二维布朗运动。所以成为二维纯量场

若G是一定的加权图[7]K的缩放极限是反全纯导数 [1]

f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数和谐函数)。这是因为调和矩阵(harmonic matrix)。[7]

非冰冻地区描述一个极限形(limit shape),比如这张文章描述一个心脏线[1](跟代数几何有关)。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。

数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程)的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化[1]

传播子[编辑]

邻接矩阵反函数是一种格林函数

传播子量子场论)。[7] 可以表示这等于狄利克雷问题的核子

由于维克定理[7]

相关条目[编辑]

其他骨牌模型

量子场论

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Richard Kenyon and Andrei Okounkov. What is a dimer? (PDF). 
  2. ^ Baake, Michael.; Moody, R. V., 1941-. Directions in mathematical quasicrystals. Providence, R.I.: American Mathematical Society https://www.worldcat.org/oclc/45248226. 2000. ISBN 0-8218-2629-8. OCLC 45248226.  缺少或|title=为空 (帮助)
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Richard Kenyon. The planar dimer model with boundary: a survey (PDF) (英语). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Introduction to Random Tilings. faculty.uml.edu. [2020-02-14]. 
  5. ^ Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. Dimer problem in statistical mechanics-an exact result. Philosophical Magazine. 1961-08, 6 (68): 1061–1063. ISSN 0031-8086. doi:10.1080/14786436108243366 (英语). 
  6. ^ Kasteleyn, P.W. The statistics of dimers on a lattice. Physica. 1961-12, 27 (12): 1209–1225. doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5 (英语). 
  7. ^ 7.00 7.01 7.02 7.03 7.04 7.05 7.06 7.07 7.08 7.09 7.10 7.11 Kenyon, Richard. An introduction to the dimer model. 2003-10-20 (英语). 
  8. ^ A000045 - OEIS. oeis.org. [2020-02-13]. 
  9. ^ A004003 - OEIS. oeis.org. [2020-02-13]. 

阅读[编辑]

  • R. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press.
  • Olivier Bodini, Matthieu Latapy. Generalized Tilings with Height Functions // Morfismos. — 2003. — Т. 7, вып. 1. — С. 47–68. — ISSN 1870-6525.
  • F. Faase. On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G X P_n // Ars Combin.. — 1998. — Т. 49. — С. 129–154.
  • J. L. Hock, R. B. McQuistan. A note on the occupational degeneracy for dimers on a saturated two-dimenisonal lattice space // Discrete Appl. Math.. — 1984. — Т. 8. — С. 101–104. — DOI:10.1016/0166-218X(84)90083-0.
  • P. W. Kasteleyn. The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice // Physica. — 1961. — Т. 27, вып. 12. — С. 1209–1225. — DOI:10.1016/0031-8914(61)90063-5. —Bibcode: 1961Phy....27.1209K..
  • Richard Kenyon. Directions in mathematical quasicrystals / Michael Baake, Robert V. Moody. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. — Т. 13. — С. 307–328. — ISBN 0-8218-2629-8.
  • Richard Kenyon, Andrei Okounkov. What is … a dimer? // Notices of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 52, вып. 3. — P. 342–343. — ISSN 0002-9920..
  • David Klarner, Jordan Pollack. Domino tilings of rectangles with fixed width // Discrete Mathematics. — 1980. — Т. 32, вып. 1. — DOI:10.1016/0012-365X(80)90098-9..
  • Richard J. Paving rectangular regions with rectangular tiles: tatami and non-tatami tilings. — 2013.
  • Lambda-determinants and domino-tilings // Advances in Applied Mathematics. — 2005. — Т. 34, вып. 4. — С. 871–879. — DOI:10.1016/j.aam.2004.06.005. — arXiv:math.CO/0406301..
  • Frank Ruskey, Jennifer Woodcock. Counting fixed-height Tatami tilings. — 2009. — Т. 16, вып. 1. — С. R126.
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  • W. P. Thurston.威廉·瑟斯顿)Conway's tiling groups. — American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1990. — Т. 97. — С. 757–773. — DOI:10.2307/2324578..
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  • Erickson, Alejandro; Ruskey, Frank (2013), "Domino tatami covering is NP-complete", Combinatorial algorithms, Lecture Notes in Comput. Sci., 8288, Springer, Heidelberg, pp. 140–149, arXiv:1305.6669, doi:10.1007/978-3-642-45278-9_13, MR 3162068