楊-米爾斯存在性與質量間隙

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楊-米爾斯規範場論與質量間隙理論物理中規範場論的一道基礎問題,必須在數學上嚴格證明楊-米爾斯場論存在(即需符合構造性量子場論的標準),亦要證明它們有質量間隙,即模型所預測的最輕單粒子態為正質量。2000年,克雷數學研究所懸賞各一百萬元的數學七大千禧年难题,其中一道題為楊-米爾斯規範場論同質量間隙。

背景[编辑]

楊振寧

物理学中,楊-米爾斯理論是一种基于非阿贝尔群量子规范理论[1]:508。20世纪初,物理学家期待量子理论和经典场论两种思想可以融合[2]:82-83。在这一方向上,最早出现的理论是英国物理学家保罗·狄拉克1927年创立的量子電動力學,简称QED[1]:7,它提供了对电磁现象的量子描述,成为麦克斯韦理论的一个量子版本[3][4],能极为精确地解释电磁场和电磁力。自然而然的,物理学家期待后续的理论能将电磁现象与弱力强力一道统一起来[5]:2。1954年杨振宁罗伯特·米尔斯提出了楊-米爾斯理論[6],它是对QED的进一步推广[1]:481。在此基础上统一电磁力和强弱相互作用时,物理学家发现这一理论的「无质量性」成为症结所在[2]:88。经典杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程[7],杨-米尔斯存在性与质量间隙难题旨在证明杨-米尔斯方程组有唯一解,并且该解满足「质量间隙」这一特征[2]:90,其官方表述为:对任意紧致、单的规范群,四维欧几里得空间中的量子杨-米尔斯理论存在一个正的质量间隙[5]:6。質量間隙問題是量子色動力學理解強相互作用的理論關鍵,關乎理論物理學的數學基礎,其解決將意味著一個數學上完整的量子規範場論的產生[5]:5

这一问题的解决前景不甚乐观,爱德华·威滕也直言「(它)对现在而言实在是太难了[2]:92。」物理学家普遍相信质量间隙的存在,但至今未能找到确凿的数学和物理学证明[8]

杨-米尔斯存在性与质量间隙问题的官方陈述由亚瑟·贾菲英语Arthur Jaffe和爱德华·威滕写出[5]

我們所知多數非凡(nontrivial)──即有相互作用──的4維量子場論皆为有截断能标英语cutoff (physics)有效場論。因多數模型的beta-函數是正的,似乎大多數這類模型皆有一支朗道极点,因我們完全不清楚它們有沒有非凡紫外定點。故此,若每一scale上皆定義有這樣的量子場論[a],它只可能為單純的自由場論

然而,有不可交換結構群楊-米爾斯理論(無夸克)例外。它有一種性質稱為漸近自由,指它有一單純的紫外定點英语UV fixed point。因此,我們可以寄望它成為非凡的構造性(constructive)四維量子場模型[b]

不交換羣楊-米爾斯理論的色禁閉性已有符合理論物理嚴謹性的證明,但未有符合數理物理嚴謹性的證明[c]。基本上,換言之,過了QCD尺度(或者這裡應稱為禁閉尺度,因為無夸克),那些色荷粒子被色動力學的「流管」連著,所以粒子間有線性(「張力x長度)。所以膠子之類自由賀粒子不可能存在。若沒有這些禁閉效應,我們應見到零質量的膠子;但因它們被禁閉,我們只見到不帶色荷的膠子束綁態——膠波。凡膠波皆質量,所以我們期望質量間隙。

格點規範場論英语lattice gauge theory的結果令不少工作者相信,這個模型真的有禁閉現象(由Wilson圈英语Wilson loop真空期望值的下降的「面積規律」(area law)看出),但這項結果還沒有符合數學的嚴慬性。

注释[编辑]

  1. ^ 必需,因它要滿足公理化量子場論的公理。
  2. ^ 量子色動力學費米夸克,當然較為複雜。
  3. ^ 讀者可閱讀相關文章:量子色動力學)、夸克禁閉格点规范理论英语lattice gauge theory

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Matthew D. Schwartz. Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press. 2013 [2015-08-06]. ISBN 9781107034730. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 引用错误:没有为名为book的参考文献提供内容
  3. ^ Toichiro Kinoshita; Donald R. Yennie. The Birth of Quantum Field Theory. Quantum Electrodynamics. Advanced series on directions in high energy physics. World Scientific. 1990: 1 [2015-08-06]. ISBN 9789810202149. 
  4. ^ Silvan S. Schweber. The Birth of Quantum Field Theory. QED and the Men who Made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton series in physics. Princeton University Press. 1994: 39 [2015-08-06]. ISBN 9780691033273. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 Arthur Jaffe and Edward Witten. Quantum Yang–Mills Theory (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-07-30]. (原始内容 (PDF)存档于2015-03-30). 
  6. ^ Yang, C. N.; Mills, R. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review. 1954, 96 (1): 191–195. Bibcode:1954PhRv...96..191Y. doi:10.1103/PhysRev.96.191. 
  7. ^ Michael R. Douglas. Report on the Status of the Yang-Mills Millenium Prize Problem (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-08-08]. 
  8. ^ A.S. Wightman; G. Velo. Fundamental Problems of Gauge Field Theory. Nato Science Series B illustrated. Springer Science & Business Media. 2013-11-11: 224 [2015-08-08]. ISBN 9781475703634. 

參見[编辑]