进位制

进位制是一种记数方式，亦称进位计数法或位值计数法。利用这种记数法，可以使用有限种數字符号来表示所有的数值。一种进位制中可以使用的數字符号的数目称为这种进位制的基数或底数。若一个进位制的基数为n，即可称之为n进位制，简称n进制。现在最常用的进位制是十进制，这种进位制通常使用10个阿拉伯數字（即0-9）进行记数。

我们可以用不同的进位制来表示同一个数。比如：十进数57₍₁₀₎，可以用二进制表示为111001₍₂₎，也可以用五进制表示为212₍₅₎，同时也可以用八进制表示为71₍₈₎，可用十二进制表示為49₍₁₂₎，亦可用十六进制表示为39₍₁₆₎，它们所代表的数值都是一样的。

在10进制中有10个數字（0 - 9），比如：

$2506=2\times 10^{3}+5\times 10^{2}+0\times 10^{1}+6\times 10^{0}$.

在16进制中有16个數字（0–9 和 A–F），比如：

$171B=1\times 16^{3}+7\times 16^{2}+1\times 16^{1}+B\times 16^{0}$ (16進制中A代表10,B代表11，C代表12,D代表13,E代表14,F代表15）

一般说来，b进制有b个數字，如果$a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}$是其中四个數字，那么就有

$a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}=a_{3}\times b^{3}+a_{2}\times b^{2}+a_{1}\times b^{1}+a_{0}\times b^{0}$ (注意，$a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$ 表示一个數字序列, 而不是數字的相乘)

常見進位制及其用途

底/基數	名稱	描述
10	十进制	世界上最常見的算術運算位進制系統，它是2和5的乘積，用於大多數機械計數器。其十位數字為 “0-9”。
12	十二进制	因為有多個因數如2，3，4和6的易於整除性，它傳統上用以表示數量和總數，如一打即為十二個單位。十二位數字為“0-9”，接著是“A”和“B”。
20	二十进制	因為有多個因數如2，4，5和10的易於整除性，在幾種傳統文化中的數字系統，仍然被用於計數。二十位數字為“0-9”，接著是“A-J”。
2	二进制	幾乎所有的电子計算機內部都使用二進位制，分別為“0”和“1”表示“關”和“開”。用於大多數電子計數器。
16	十六进制	經常用於計算機領域，2到4次冪。十六位數字為“0-9”，接著是“A-F”。
8	八进制	偶爾用於計算機領域，2到3次冪。八位數字為“0-7”。
60	六十進制	起源於古代蘇美爾並傳給巴比倫人。六十成為3,4和5的乘積。今天用作現代圓形坐標系（度，分，秒）和時間測量（小時，分鐘和秒）的基礎。
5	五进制	一般用於計算票數，「T」代表2，「正」代表5。正字一筆等於一。

八进位制和十六进位制系统通常用于计算机領域，因为它们可方便當作二进位制的简写。十六进位制数字对应于四位二进位制数字的序列，因为十六是二的四次方; 例如，十六进位制 78₁₆ 是二进制 1111000₂。八进位制数和二进位制的数字序列之间也有类似关系，因为八是二的立方。底數通常是自然数。 然而，其它位進制系统也是可能的。黄金比率底數（其底为非整数代 数）和负底數（其底为负数）。

参考文獻

• O'Connor, John; Robertson, Edmund. Babylonian Numerals. December 2000 [21 August 2010]. （原始内容存档于2014-09-11）. 
• Kadvany, John. Positional Value and Linguistic Recursion. Journal of Indian Philosophy. December 2007. 
• Knuth, Donald. The art of Computer Programming 2. Addison-Wesley. 1997: 195–213. ISBN 0-201-89684-2. 
• Ifrah, George. The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. 2000. ISBN 0-471-37568-3. 
• Kroeber, Alfred. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. 1976: 176 [1925] [2014-07-17]. ISBN 9780486233680. （原始内容存档于2016-05-05）. 

外部連結

• 进位转换器（网页版） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Accurate Base Conversion
• The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetics
• Implementation of Base Conversion （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Learn to count other bases on your fingers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• From one to another number system （页面存档备份，存于互联网档案馆）