底数 (进制)

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底数区分的进位制系统
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 16 18 20 24 30 32 36 60 64

进位制底数(radix, base)是指此进位制中,用於表示所使用的數字符號(包括0)數量。以目前最常使用的十進制為例,每一位的數字可以從0至9,共10個數字,因此底数為10。

在进位制系統中,若要表示一個數字的底數和值,會用(x)y表示,x是每一位數字組合成的字符串y是底数,十進制是最常用的,因此會省略底數以及字符串前後的括號。例如(100)10也可以表示為100(後者省略其進制),表示一百,而(100)2(底數為2,是二進制)表示數字4[1]

進位制和底數[编辑]

以13進制的系統為例,398表示的數字是(十進制下的)3 × 132 + 9 × 131 + 8 × 130 = 632。

若是在b進制(b > 1)下,各位數數字是d1dn的數,其值為 d1bn−1 + d2bn−2 + … + dnb0,其中 0 ≤ di < b.[1]。在十進制中,有個位數、十位數、百位數……等,而在b進制中,有個位數、b1位數、b2位數……等[2]

常用的進制系統有:

Base/radix Name Description
2 二进制 是絕大多數电子计算机中使用的進制。二個數字分別是"0"和"1",可以以用開關關閉或開啟來表示。大部份的電子计数器都使用二進制。
8 八进制 有時會在運算時使用。八個數字分別是"0"–"7",表示三個位元(23)。
10 十进制 全世界最常使用的進制系統,一般運算也是用十進制來表示。十個數字分別是"0"–"9"。用在大部份的機械計數器英语mechanical counter上。
12 十二进制 因為底數可以被2、3、4和6整除,有些情形上使用很方便。傳統上有些數量用表示的,即使用了十二进制。
16 十六进制 十六进制可以用比較簡潔的方式表示二進制(十六進制的一個數字代表二進制的四個位元),常用在電腦中。十個數字分別是"0"–"9",以及"A"–"F"(或"a"–"f")。
20 二十进制 有些文化傳統上會使用二十進制,有些文化在計數時仍會用到,有些會用score表示20。
60 六十進制 源起於十苏美尔,後來傳到巴比倫尼亞[3]。現今表示角度的度分秒系統,以及表示时间的時分秒系統都有使用六十進制。

二進制的數字可以輕鬆的轉換為八進制和十六進制的數字,而且數字長度較短。十六進制的一個數字表示二進制的四位數字。例如十六進制的7816,在二進制下是11110002。而八進制的一個數字也可以表示二進制的三位數字。

正整數在特定進制下的表示法是唯一的。令b大於一的正整數,則每一個正整數a都可以以以下形式表示,而且不會和其他的正整數重覆:

其中m是非負整數,r是整數,使得

0 < rm < b and 0 ≤ ri < b for i = 0, 1, ... , m − 1.[4]

底数多半是自然数,不過也有一些進制的底数不是整數,例如黄金进制(底数是非整數的代數數[5])、負底數英语negative base(底数為負)[6]。 負底數可以在不使用負號的情形下表示負數。例如,若b = −10,則該進制下的19對應十進制下的1 × (−10)1 + 9 × (−10)0 = −1。

相關條目[编辑]

註解[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Mano, M. Morris; Kime, Charles. Logic and Computer Design Fundamentals 4th. Harlow: Pearson. 2014: 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4. 
  2. ^ Experimonkey. experimonkey.com. [2018-12-02]. [失效連結]
  3. ^ Bertman, Stephen. Handbook to Life in Ancient Mesopotamia Paperback. Oxford [u.a.]: Oxford Univ. Press. 2005: 257 [2021-08-13]. ISBN 978-019-518364-1. (原始内容存档于2021-08-13). 
  4. ^ McCoy (1968, p. 75)
  5. ^ Bergman, George. A Number System with an Irrational Base. Mathematics Magazine. 1957, 31 (2): 98–110. JSTOR 3029218. doi:10.2307/3029218. 
  6. ^ William J. Gilbert. Negative Based Number Systems (PDF). Mathematics Magazine. September 1979, 52 (4): 240–244 [7 February 2015]. doi:10.1080/0025570X.1979.11976792. (原始内容存档 (PDF)于2013-11-26). 

參考資料[编辑]

  • McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68015225 

外部連結[编辑]