底数 (进制)
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底数（radix， base）又称数基[1]、基数、基值、根值[2]、记数根[3]，是指进位制中用以乘每个数位而得有效值的数；如十进制数的底数为 10，而二进制数的底数为 2。底数（数基）属于记数系统所使用的一种数字表示符号。
在进位制系统中，若要表示一个数字的底数和值，会用(x)y表示，x是每一位数字组合成的字符串，y是底数，十进制是最常用的，因此会省略底数以及字符串前后的括号。例如(100)10也可以表示为100（后者省略其进制），表示一百，而(100)2（底数为2，是二进制）表示数字4[4]。
进位制和底数
[编辑]以13进制的系统为例，398表示的数字是（十进制下的）3 × 132 + 9 × 131 + 8 × 130 = 632。
若是在b进制（b > 1）下，各位数数字是d1 … dn的数，其值为 d1bn−1 + d2bn−2 + … + dnb0，其中 0 ≤ di < b.[4]。在十进制中，有个位数、十位数、百位数……等，而在b进制中，有个位数、b1位数、b2位数……等[5]。
常用的进制系统有：
| 底数 | 名称 | 描述 |
|---|---|---|
| 2 | 二进制 | 是绝大多数电子计算机中使用的进制。二个数字分别是"0"和"1"，可以以用开关关闭或开启来表示。大部分的电子计数器都使用二进制。 |
| 8 | 八进制 | 有时会在运算时使用。八个数字分别是"0"–"7"，表示三个位元（23）。 |
| 10 | 十进制 | 全世界最常使用的进制系统，一般运算也是用十进制来表示。十个数字分别是"0"–"9"。用在大部分的机械计数器上。 |
| 12 | 十二进制 | 因为底数可以被2、3、4和6整除，有些情形上使用很方便。传统上有些数量用打或箩表示的，即使用了十二进制。 |
| 16 | 十六进制 | 十六进制可以用比较简洁的方式表示二进制（十六进制的一个数字代表二进制的四个位元），常用在电脑中。十个数字分别是"0"–"9"，以及"A"–"F"（或"a"–"f"） 而且可以表示颜色。 |
| 20 | 二十进制 | 有些文化传统上会使用二十进制，有些文化在计数时仍会用到，有些会用score表示20。 |
| 60 | 六十进制 | 源起于古苏美尔，后来传到巴比伦尼亚[6]。现今表示角度的度分秒系统，以及表示时间的时分秒系统都有使用六十进制。 |
二进制的数字可以轻松的转换为八进制和十六进制的数字，而且数字长度较短。十六进制的一个数字表示二进制的四位数字。例如十六进制的7816，在二进制下是11110002。而八进制的一个数字也可以表示二进制的三位数字。
正整数在特定进制下的表示法是唯一的。令b大于一的正整数，则每一个正整数a都可以以以下形式表示，而且不会和其他的正整数重复：
其中m是非负整数，r是整数，使得
- 0 < rm < b and 0 ≤ ri < b for i = 0, 1, ... , m − 1.[7]
底数多半是自然数，不过也有一些进制的底数不是整数，例如黄金进制（底数是非整数的代数数[8]）、负底数（底数为负）[9]。 负底数可以在不使用负号的情形下表示负数。例如，若b = −10，则该进制下的19对应十进制下的1 × (−10)1 + 9 × (−10)0 = −1。
广义的底数
[编辑]底数亦可以解释为进位制系统进位的时机，当底数为b时，则该进制每逢b则进位一次。例如十进制底数为10，故数字每逢十就进位一次，也就是说9的下一个数将会进位到十位数，又例如八进制底数为8，故7的下一个数则逢8，进位成10(8)。
此定义可以将底数推广到非整数进制中，例如黄金进制底数为黄金比例，故黄金比例这个数在黄金进制中表达为10，因为已“逢黄金比例”因此进位到第二位数。
相关条目
[编辑]注解
[编辑]- ^ 存档副本. [2023-07-09]. （原始内容存档于2023-07-09）.
- ^ 存档副本. [2023-07-09]. （原始内容存档于2023-07-09）.
- ^ 存档副本. [2023-07-09]. （原始内容存档于2023-07-09）.
- ^ 4.0 4.1 Mano, M. Morris; Kime, Charles. Logic and Computer Design Fundamentals 4th. Harlow: Pearson. 2014: 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4.
- ^ Binary: How Do Computers Talk? | Experimonkey. experimonkey.com. [2018-12-02].[失效链接]
- ^ Bertman, Stephen. Handbook to Life in Ancient Mesopotamia Paperback. Oxford [u.a.]: Oxford Univ. Press. 2005: 257 [2021-08-13]. ISBN 978-019-518364-1. （原始内容存档于2021-08-13）.
- ^ McCoy (1968，第75页)
- ^ Bergman, George. A Number System with an Irrational Base. Mathematics Magazine. 1957, 31 (2): 98–110. JSTOR 3029218. doi:10.2307/3029218.
- ^ William J. Gilbert. Negative Based Number Systems (PDF). Mathematics Magazine. September 1979, 52 (4): 240–244 [7 February 2015]. doi:10.1080/0025570X.1979.11976792. （原始内容存档 (PDF)于2013-11-26）.
参考资料
[编辑]- McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68015225
外部链接
[编辑]
- Base Convert, a floating-point base calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- MathWorld entry on base （页面存档备份，存于互联网档案馆）