古德曼函數

古德曼函數（Gudermannian function）是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來。

性質

古德曼函數，圖中的藍色橫線為漸近線$\scriptstyle {y=\pm {\frac {\pi }{2}}}\,\!$。

古德曼函數的定義如下

${\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\qquad -\infty <x<\infty \\&=\arcsin \left(\tanh x\right)={\mbox{arctan}}\left(\sinh x\right)=\mathrm {arccsc} \left(\coth x\right)\\&={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arccos} \left(\mathrm {sech} \,x\right)={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arcsec} \left(\cosh x\right)\\&=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-2\operatorname {arccot}(e^{x})\\&=2\arctan \left(\tanh {\frac {x}{2}}\right)\\&=\mathrm {arccot} \left(\mathrm {csch} \,x\right)\\\end{aligned}}\,\!$

（${\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)=\mathrm {arccot} \left(\mathrm {csch} \,x\right)\end{aligned}}\,\!$僅在arccot的值域設為$[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$時成立，參見反餘切。）

有以下恆等式：

${\begin{aligned}\sin \left({\mbox{gd}}x\right)&=\tanh x;&\quad \cos \left({\mbox{gd}}x\right)&={\mbox{sech}}x\\\tan \left({\mbox{gd}}x\right)&=\sinh x;&\quad \sec \left({\mbox{gd}}x\right)&=\cosh x\\\cot \left({\mbox{gd}}x\right)&={\mbox{csch}}x;&\quad \csc \left({\mbox{gd}}x\right)&=\coth x\\\tan \left({\frac {{\mbox{gd}}x}{2}}\right)&=\tanh {\frac {x}{2}};&\quad \cot \left({\frac {{\mbox{gd}}x}{2}}\right)&=\coth {\frac {x}{2}}\\\end{aligned}}\,\!$

反函數

古德曼函數的反函數，圖中的藍色直線為漸近線$\scriptstyle {x=\pm {\frac {\pi }{2}}}\,\!$。

古德曼函數之反函數的定義為：

${\begin{aligned}{\mbox{arcgd}}x&={\rm {gd}}^{-1}x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}\qquad -\pi /2<x<\pi /2\\&=\mathrm {arctanh} \,(\sin x)=\mathrm {arcsinh} \,(\tan x)\\&=\mathrm {arccoth} \,(\csc x)=\mathrm {arccsch} \,(\cot x)\\&={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arccosh} \,(\sec x)={\mbox{sgn}}(x)\cdot \mathrm {arcsech} \,(\cos x)\\&=2\mathrm {arctanh} \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\&={}\ln \left|\sec x(1+\sin x)\right|\\&={}\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|\\&={}{\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|\end{aligned}}\,\!$

有以下恆等式：

${\begin{aligned}\sinh \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\tan x;&\quad \cosh \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\sec x\\\tanh \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\sin x;&\quad \;{\mbox{sech}}\left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\cos x\\\coth \left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\csc x;&\quad \,{\mbox{csch}}\left({\mbox{gd}}^{-1}x\right)&=\cot x\\\tanh \left({\frac {{\mbox{gd}}^{-1}x}{2}}\right)&=\tan {\frac {x}{2}};&\quad \,\coth \left({\frac {{\mbox{gd}}^{-1}x}{2}}\right)&=\cot {\frac {x}{2}}\\\end{aligned}}\,\!$

餘函數

古德曼函數的餘函數

古德曼函數之餘函數的定義為：

${\begin{aligned}{\mbox{cogd}}x&={\begin{cases}\int _{\infty }^{x}{\frac {dt}{\sinh t}}\qquad 0<x<\infty \!\,\\\int _{x}^{-\infty }{\frac {dt}{\sinh t}}\qquad -\infty <x<0\!\,\end{cases}}\\&=-{\mbox{sgn}}(x)\cdot \ln \left|\tanh {x \over 2}\right|\\&={\mbox{sgn}}(x)\cdot \ln \left|\coth x+{\mbox{csch}}x\right|\\&=2{\mbox{artanh}}(e^{-\left|x\right|})\cdot {\mbox{sgn}}(x)=2{\mbox{arcoth}}(e^{\left|x\right|})\cdot {\mbox{sgn}}(x)\\&={\mbox{cogd}}^{-1}x\\\end{aligned}}\,\!$

有以下恆等式：

${\begin{aligned}\sinh \left({\mbox{cogd}}x\right)&={\mbox{csch}}x;&\quad \;\cosh \left({\mbox{cogd}}x\right)&=\coth \left|x\right|\\\tanh \left(\left|{\mbox{cogd}}x\right|\right)&={\mbox{sech}}x;&\quad \;{\mbox{sech}}\left({\mbox{cogd}}x\right)&=\tanh \left|x\right|\\\coth \left(\left|{\mbox{cogd}}x\right|\right)&=\cosh x;&\quad \,{\mbox{csch}}\left({\mbox{cogd}}x\right)&=\sinh x\\\end{aligned}}\,\!$

微分

它們的導數分別為：

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\mbox{gd}}x={\mbox{sech}}x;\quad {\frac {d}{dx}}{\mbox{arcgd}}x=\sec x;\quad {\frac {d}{dx}}{\mbox{cogd}}x=-{\mbox{csch}}\left|x\right|\\\end{aligned}}\,\!$

應用

• 在雙曲幾何中，表達式

${\frac {\pi }{2}}-{\mbox{gd}}(x)$

定義了平行角函數。

• 在使用麥卡托投影法的地圖，若以$y\,$表示一個地點在地圖跟赤道的距離，則其緯度$\phi \,$和$y\,$的關係為：

$\phi ={\mbox{gd}}(y)\,$

• 古德曼函數在倒單擺的非週期解中出現。

參考

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.
• Gudermannian Function -- from Wolfram MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）

發現者的生平

克里斯托夫·古德曼（Christof Gudermann，1798年–1852年）是德國數學家，是高斯的學生，卡爾·魏爾施特拉斯的老師。[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）[2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）