超奇异素数

在月光理论的数学分支中，超奇异素数（Supersingular prime）是怪兽群（Monster group，最大的简单散在群）“M”阶数的素因数 。超奇异素数只有15个：包括前11个素数（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31）、41、47、59和71。（OEIS数列A002267）

不是超奇异素数的素数有37、43、53、61、67，以及任何大于或等于73的素数。所有超奇异素数都是陈素数，但是不是不是超奇异素数的37、53和67也是陈素数，并且有无数个大于73的陈素数。

超奇异素数与以下所述超奇异椭圆曲线的概念有关。对于素数“ p”，以下等价：

1. 模曲线 X₀⁺(p) = X₀(p)/w_p，其中 w_p 是Fricke involution的X₀(p)，其特征为零。  
2. 可以在素子场（prime subfield）上定义特征“p”中的所有超奇异椭圆曲线 F_p.
3. 怪物组的阶数可被“p”整除。

上述等价叙述是由安德鲁·奥格提出。奥格在1975年证明满足第一个条件的素数，恰好是上面列出的15个超奇数素数，此后不久就得知（当时是猜想的）零星简单群的存在，这些群正好把这些素数作为素数除数。这种奇怪的巧合即为怪兽月光理论的基础。

三个非超奇异素数以另外两个简单散在群的阶数出现：37和67是里昂群阶数的约数，以及37和43是扬科群J4阶数的约数。可以立即得出结论，这两个不是魔群组的子商（它们是六个低群中的两个）。其他的散在群（包括其他四个低群，若提次群可计入散在群的话，也包括提次群）也具有仅超奇素数的阶。 实际上，除了小怪兽群以外，它们都只能被小于或等于31的素数整除的阶，不过只有怪兽群的约数包括所有的超奇异素数。超奇异素数47是小怪兽群阶数的约数，而其他三个超奇异素数（41、59和71）只是怪兽群的约数，不是其他散在群的约数。

参考资料

• 埃里克·韦斯坦因. Supersingular Prime. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Sporadic group. MathWorld. 
• Ogg, A. P. Modular Functions. Cooperstein, Bruce; Mason, Geoffrey (编). The Santa Cruz Conference on Finite Groups. Held at the University of California, Santa Cruz, Calif., June 25–July 20, 1979. Providence, RI: Amer. Math. Soc. 1980: 521–532. ISBN 0-8218-1440-0.