马尔可夫网络,(马尔可夫随机场、无向图模型)是关于一组有马尔可夫性质随机变量
的全联合概率分布模型。
马尔可夫网络类似贝叶斯网络用于表示依赖关系。但是,一方面它可以表示贝叶斯网络无法表示的一些依赖关系,如循环依赖;另一方面,它不能表示贝叶斯网络能够表示的某些关系,如推导关系。马尔可夫网络的原型是易辛模型,最初是用来说明该模型的基本假设[1]。
形式上,一个马尔可夫网络包括:
- 一个无向图G = (V,E),每个顶点v ∈V表示一个在集合
的随机变量,每条边{u,v} ∈ E表示随机变量u和v之间的一种依赖关系。
- 一个函数集合
(也称为因子或者团因子有时也称为特征),每一个
的定义域是图G的团或子团k. 每一个
是从可能的特定联合的指派(到元素k)到非负实数的映射。
联合分布(吉布斯测度)用马尔可夫网络可以表示为:
![{\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z}}\prod _{k}f_{k}(x_{\{k\}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfcff5c4aaea302678d2f7a731d0340085e1ac01)
其中
是向量,
是随机变量
在第k个团的状态(
是在第k个团中包含的节点数。),乘积包括了图中的所有团。注意马尔可夫性质在团内的节点存在,在团之间是不存在依赖关系的。这里,
是配分函数,有
.
实际上,马尔可夫网联络经常表示为对数线性模型。通过引入特征函数
,得到
![{\displaystyle f_{k}=\exp \left(w_{k}^{\top }\phi _{k}(x_{\{k\}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb24d1864e7c6af75cc49d8ae0670190f6515a7)
和
![{\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z}}\exp \left(\sum _{k}w_{k}^{\top }\phi _{k}(x_{\{k\}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4fd6cbced3b87edfa7f5ad63509212006a74a2)
以及划分函数
。
其中,
是权重,
是势函数,映射团
到实数。这些函数有时亦称为吉布斯势;术语势源于物理,通常从字面上理解为在临近位置产生的势能。
对数线性模型是对势能的一种便捷的解释方式。一个这样的模型可以简约的表示很多分布,特别是在领域很大的时候。另一方面,负的似然函数是凸函数也带来便利。但是即便对数线性的马尔可夫网络似然函数是凸函数,计算似然函数的梯度仍旧需要模型推理,而这样的推理通常是难以计算的。
马尔可夫网络有这样的马尔可夫性质:图的顶点u在状态
的概率只依赖顶点u的最近临节点,并且顶点u对图中的其他任何节点是条件独立的。该性质表示为
![{\displaystyle P(X_{u}=x_{u}|X_{v},v\neq u)=P(X_{u}=x_{u}|X_{v},v\in N_{u})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58e322c9b965ad6d4308f0464d316666f0fe7ca)
顶点u的最近临节点集合
也称为顶点u的马尔可夫链。
在贝叶斯网络中,计算节点
集合对给出的另外节点
集合的条件分布可以通过的所有可能的
指派值求和,这是精确推理。精确推理是NP-hard问题,一般相信不存在快速计算方法。近似推理技术如马尔科夫蒙特卡洛和置信度传播通常更加可行。一些马尔可夫随机场的子类,如树,有多项式时间复杂度的推理算法,发现这样的子类也是活跃的研究课题。也有一些马尔可夫随机场的子类允许有效最大后验概率估计,或者最可能的指派值;应用的例子包括关联网络。
一个马尔可夫网络的重要变体是条件随机场,每个随机变量可以条件依赖于一组全局的观察
。这个模型中,每个函数
是从指派值到团k和从观察
到非负实数的映射。这样的马尔可夫网络更适于不对观察建立分布模型的区分性模型,不是生成性模型。