恒等式列表

数学恒等式列表：

定义[编辑]

恒等式（英语：Identity Equation）是指等式等号两边永远相等的表达式。^[1]恒等式的等号可用恒等号（≡）表示。

乘法公式类[编辑]

以下是常见的乘法公式：

分配律： $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!$
和平方： $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$
- 三项和平方： $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$
差平方： $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$
- 三数差平方： $(a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ca\,\!$
平方和： $a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)\,\!$
平方差： $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!$
和立方： $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$
差立方： $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!$
立方和： $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
立方差： $a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$
等幂求和： $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!$
等幂和差： $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
平方和、平方差延伸： $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab\,\!$
多项式平方： $(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\,\!$
三数和立方： $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)\,\!$

著名等式[编辑]

贝祖等式：虽然名称有“等式”一词，但这是最大公因数的定理，得名于法国数学家艾蒂安·贝祖。
二项式逆定理（英语：Binomial inverse theorem）：由伍德伯里矩阵恒等式（Woodbury matrix identity）衍生的定理。
二项式定理：说明了二项式的幂的代数展开的定理。
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式： $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\,\!$
坎迪多等式（英语：Candido's identity）： $\left[x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\right]^{2}=2[x^{4}+y^{4}+(x+y)^{4}]\,\!$
欧拉四平方和恒等式：如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。
Degen八平方和恒等式（英语：Degen's eight-square identity）：如果两个数都能表示为八个平方数的和，则这两个数的积也能表示为八个平方数的和。
欧拉恒等式： ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，包括虚数单位以及二个超越数的等式。
卡西尼及卡塔兰恒等式（英语：Cassini and Catalan identities）：有关斐波那契数列的等式， $F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.$ 。
海涅恒等式（英语：Heine's identity）：有关平方根倒数函数的傅里叶展开的恒等式。
海曼恒等式（英语：Hermite's identity）：有关下取整函数（floor）求和的恒等式。
拉格朗日恒等式： $\|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,$
三角恒等式：许多有关三角函数的恒等式。
Enumerator polynomial（英语：Enumerator polynomial）
Matrix determinant lemma（英语：Matrix determinant lemma）
牛顿恒等式：描述了幂和对称多项式以及初等对称多项式之间的关系
帕塞瓦尔恒等式： $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx,$ ，“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算。
Pfister's sixteen-square identity（英语：Pfister's sixteen-square identity）
Sherman–Morrison formula（英语：Sherman–Morrison formula）
Sophie Germain identity（英语：Sophie Germain identity）
Sun's curious identity（英语：Sun's curious identity）
Sylvester's determinant identity（英语：Sylvester's determinant identity）
范德蒙恒等式： ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ ，是有关组合数的求和公式。
伍德伯里矩阵恒等式（英语：Woodbury matrix identity）： $\left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},$