恆等式列表

數學恆等式列表：

定義[編輯]

恆等式（英語：Identity Equation）是指等式等號兩邊永遠相等的表達式。^[1]恆等式的等號可用恆等號（≡）表示。

乘法公式類[編輯]

以下是常見的乘法公式：

分配律： $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!$
和平方： $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$ $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$
- 三項和平方： $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$
差平方： $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$
- 三數差平方： $(a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ca\,\!$
平方和： $a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)\,\!$
平方差： $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!$
和立方： $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$
差立方： $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!$
立方和： $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
立方差： $a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$
等冪求和： $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!$
等冪和差： $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
平方和、平方差延伸： $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab\,\!$
多項式平方： $(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\,\!$
三數和立方： $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)\,\!$

著名等式[編輯]

貝祖等式：雖然名稱有「等式」一詞，但這是最大公因數的定理，得名於法國數學家艾蒂安·貝祖。
二項式逆定理（英語：Binomial inverse theorem）：由伍德伯里矩陣恆等式（Woodbury matrix identity）衍生的定理。
二項式定理：說明了二項式的冪的代數展開的定理。
婆羅摩笈多-斐波那契恆等式： $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\,\!$
坎迪多等式（英語：Candido's identity）： $\left[x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\right]^{2}=2[x^{4}+y^{4}+(x+y)^{4}]\,\!$
歐拉四平方和恆等式：如果兩個數都能表示為四個平方數的和，則這兩個數的積也能表示為四個平方數的和。
Degen八平方和恆等式（英語：Degen's eight-square identity）：如果兩個數都能表示為八個平方數的和，則這兩個數的積也能表示為八個平方數的和。
歐拉恆等式： ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，包括虛數單位以及二個超越數的等式。
卡西尼及卡塔蘭恆等式（英語：Cassini and Catalan identities）：有關斐波那契數列的等式， $F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.$ 。
海涅恆等式（英語：Heine's identity）：有關平方根倒數函數的傅里葉展開的恆等式。
海曼恆等式（英語：Hermite's identity）：有關下取整函數（floor）求和的恆等式。
拉格朗日恆等式： $\|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,$
三角恆等式：許多有關三角函數的恆等式。
Enumerator polynomial（英語：Enumerator polynomial）
Matrix determinant lemma（英語：Matrix determinant lemma）
牛頓恆等式：描述了冪和對稱多項式以及初等對稱多項式之間的關係
帕塞瓦爾恆等式： $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx,$ ，「函數的傅里葉係數的平方和」與「函數平方後的積分值」可以直接換算。
Pfister's sixteen-square identity（英語：Pfister's sixteen-square identity）
Sherman–Morrison formula（英語：Sherman–Morrison formula）
Sophie Germain identity（英語：Sophie Germain identity）
Sun's curious identity（英語：Sun's curious identity）
Sylvester's determinant identity（英語：Sylvester's determinant identity）
范德蒙恆等式： ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ ，是有關組合數的求和公式。
伍德伯里矩陣恆等式（英語：Woodbury matrix identity）： $\left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},$