归纳维数

在数学的拓扑学中，归纳维数是对拓扑空间X定义的两种维数，分别为小归纳维数ind(X)与大归纳维数Ind(X)。在n维欧几里得空间Rⁿ中，一个球的边界是有n - 1维的球面。以这个观察为基础，利用一个空间中适合的开集的边界维数，应当可以归纳定义出空间的维数。

这两种维数是只靠空间的拓扑来定义，无需用到空间的其他性质（比如度量）。拓扑空间的一般常用维数有三种，有大小归纳维数，以及勒贝格覆盖维数。通常说“拓扑维数”是指勒贝格覆盖维数。对于“足够好”的空间，这三种维数都相等。

正式定义

我们想定义一个点的维数是0，而点的边界是空的，因此首先定义

$\operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1$

然后，归纳定义X的小归纳维数ind(X)为最小的整数n，使得对X中任何点x，及任何包含x的开集U，都存在一个包含x的开集V，使得V的闭包是U的子集，V的边界的小归纳维数小于或等于n - 1。

对于X的大归纳维数Ind(X)的定义，增加选取V的限制如下：Ind(X)为最小的整数n，使得对X中任何开集U，及U的任何闭子集F，都存在一个包含F的开集V，使得V的闭包是U的子集，V的边界的大归纳维数n - 1。

各维数的关系

设dim为勒贝格覆盖维数。对任何拓扑空间X，有

dim X = 0 若且唯若 Ind X = 0.

乌雷松定理指出，若X是正规空间，及有可数基，则

dim X = Ind X = ind X.

这种空间正是可分及可度量化空间。（参见乌雷松度量化定理。）

Nöbeling-Pontryagin定理指出有限维数的这种空间，其特征为同胚于欧几里得空间中的子空间，子空间用通常的拓扑。Menger-Nöbeling定理(1932)说若X是紧致及度量可分，且有维数n，则可以嵌入到2n + 1维欧几里得空间成为子空间。（Georg Nöbeling是卡尔·门格尔的学生。他引入了Nöbeling空间，是R^{2n + 1}的一个子空间，由至少n + 1个座标是无理数的点所组成，这个空间有与n维空间嵌入相关的一些泛性质。）

若只假设X是可度量化，则有（Miroslav Katětov）

ind X ≤ Ind X = dim X.

若只假设X是紧致豪斯多夫空间，则有（帕维尔·亚历山德罗夫）

dim X ≤ ind X ≤ Ind X.

以上的不等式都可能是严格的；Vladimir V. Filippov有个例子显示两种归纳维数可以不相等。

一个可分度量空间X的大归纳维数Ind X ≤ n，若且唯若X中任何闭空间A及任何连续映射$f:A\to S^{n}$，都存在一个连续扩张${\bar {f}}:X\to S^{n}$。

参看

• Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55.
• R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.
• V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.
• V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
• A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).