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五角二十四面體

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五角二十四面體
五角二十四面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別卡塔蘭立體
對偶多面體扭棱立方體
識別
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
pedid在維基數據編輯
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
node_fh 4 node_fh 3 node_fh 
性質
24
60
頂點38
歐拉特徵數F=24, E=60, V=38 (χ=2)
二面角136° 18' 33'
組成與佈局
面的種類V3.3.3.3.4
不等邊五邊形
對稱性
對稱群O, ½BC3, [4,3]+, 432
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
O, [4,3]+, (432)
特性
面可遞
圖像
立體圖

扭棱立方體
對偶多面體

展開圖

幾何學中,五角二十四面體是一種卡塔蘭多面體[1],由24個全等的不等邊五邊形組成,其對偶多面體扭棱立方體[2],共有24個、60個和38個頂點[3]

礦物學中,這種形狀又稱為五角三八面體螺旋二十四面體(gyroid)[4][5][6]五角偏方三八面體偏菱五角二十四面體[7],部分的礦石可以結晶成這種形狀[8],例如赤銅礦——化學成份為氧化亞銅(Cu2O)的氧化物礦物可以結晶成五角二十四面體[9]

性質

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五角二十四面體是一個手性多面體英語Chirality (mathematics)[10],也就是說,該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同,無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀[11][12][13]。這兩種形式互為鏡像(或「對映體」),又稱為手性鏡像,且其頂點數皆相同,共有24個、60個、38個頂點[3]


五角二十四面體的旋轉透視圖

五角二十四面體的另一個手性鏡像的旋轉透視圖

五角二十四面體的對偶多面體扭棱立方體,換句話說即這個多面體的頂點可以對應到扭棱立方體每個面的幾何中心、扭棱立方體的每個頂點可以對應到五角二十四面體的幾何中心[14]

面的組成

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構成五角二十四面體的五邊形。

五角二十四面體由24個全等的具有鏡像對稱性之不等邊五邊形組成[13][12]。這種不等邊五邊形有兩種邊長,有三個邊為短邊(下圖中以b表示)、兩個邊為長邊(下圖中以a表示)。長邊的邊長為短邊的一半再加上短邊的三波那契常數英語tribonacci constant[15],即:

短邊長邊

其中,三波那契常數英語tribonacci constant,即:

OEIS數列A058265

這個數為的實根[16]

這個不等邊五邊形兩個長邊相鄰,其夾角為二減去三波那契常數的反餘弦值(約為80.75度);其餘4個角皆為二分之一減去一半的三波那契常數之反餘弦值(約為114.81度)[15]

若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長,則相應的五角二十四面體面的短邊邊長為[13][12]

相應的五角二十四面體面的長邊邊長為[13][12]

體積與表面積

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若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長,則相應的五角二十四面體的體積與表面積為[10]

而根據相應的邊長關係[13][12],可以得到以邊長表示的體積與表面積:

正交投影

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五角二十四面體有三種具有特殊對稱性的正交投影,分別是以為三的頂點為中心、以為四的頂點為中心以及以與側邊中點為中心的正交投影。前兩者對稱性對分別應於A2和B2的考克斯特平面[17][18]

正交投影
投影位置 為三的頂點 為四的頂點 側邊中點
投影對稱性 [3] [4]+ [2]
圖像
對偶多面體

變體

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五角二十四面體有另外一種同樣所有面全等的變體。這種變體具有八面體群的對稱性,且具有3種不同的邊長。這種變體可以透過在扭棱立方體的6個正方形與8個三角形的面上加上角錐至與鄰面共面來構造[19]


扭棱立方體的面上加上角錐至與鄰面共面

五角二十四面體變體

該變體地展開圖

相關多面體及鑲嵌

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五角二十四面體的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性[20],其他同為(n32)旋轉對稱性的幾何結構有:

扭棱鑲嵌對稱性 n32 的變種: 3.3.3.3.n
對稱性
n32英語Orbifold notation
球面鑲嵌英語List of spherical symmetry groups 歐氏鑲嵌英語List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 仿緊雙曲
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
考克斯特記號 node_h 2 node_h 3 node_h  node_h 3 node_h 3 node_h  node_h 4 node_h 3 node_h  node_h 5 node_h 3 node_h  node_h 6 node_h 3 node_h  node_h 7 node_h 3 node_h  node_h 8 node_h 3 node_h  node_h infin node_h 3 node_h 
扭稜圖 扭稜三角形二面體 扭稜正四面體 扭稜立方體 扭稜十二面體 扭稜六邊形鑲嵌 扭稜三階七邊形鑲嵌 扭稜三階八邊形鑲嵌 扭稜三階無限邊形鑲嵌
頂點圖 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7英語Snub triheptagonal tiling 3.3.3.3.8英語Snub trioctagonal tiling 3.3.3.3.∞英語Snub triapeirogonal tiling
扭稜對偶
頂點佈局英語Vertex configuration V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7英語Order-7-3 floret pentagonal tiling V3.3.3.3.8英語Order-8-3 floret pentagonal tiling V3.3.3.3.∞

關於的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性的五角二十四面體[20],亦可以從(4n2)旋轉對稱性進行比較。這些相關幾何結構包括:

扭棱鑲嵌對稱性 4n2 的變種: 3.3.4.3.n
對稱性
4n2英語Orbifold notation
球面鑲嵌英語List of spherical symmetry groups 歐氏鑲嵌英語List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 仿緊雙曲
242 342 442 542 642 742 842 ∞42
扭稜圖
頂點佈局英語Vertex configuration 3.3.4.3.2 3.3.4.3.3 3.3.4.3.4 3.3.4.3.5英語Snub tetrapentagonal tiling 3.3.4.3.6英語Snub tetrahexagonal tiling 3.3.4.3.7英語Snub tetraheptagonal tiling 3.3.4.3.8英語Snub tetraoctagonal tiling 3.3.4.3.∞英語Snub tetrapeirogonal tiling
扭稜對偶
頂點佈局英語Vertex configuration V3.3.4.3.2 V3.3.4.3.3 V3.3.4.3.4 V3.3.4.3.5 V3.3.4.3.6 V3.3.4.3.7 V3.3.4.3.8 V3.3.4.3.∞

五角二十四面體是立方體經過扭棱變換後的對偶多面體[10],其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有:

對稱性英語List_of_spherical_symmetry_groups: [4,3], (*432)英語Octahedral symmetry [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)英語Tetrahedral symmetry
[3+,4]
(3*2)英語pyritohedral symmetry
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} c{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
node_1 4 node 3 node  node_1 4 node_1 3 node  node 4 node_1 3 node  node 4 node_1 3 node_1  node 4 node 3 node_1  node_1 4 node 3 node_1  node_1 4 node_1 3 node_1  node_h 4 node_h 3 node_h  node_h 3 node_h 4 node 
node_h0 4 node_1 3 node 
= nodes_11 split2 node 
node_h0 4 node_1 3 node_1 
= nodes_11 split2 node_1 
node_h0 4 node 3 node_1 
= nodes split2 node_1 
node_1 4 node_h 3 node_h  node_h1 4 node 3 node  =
nodes_10ru split2 node  or nodes_01rd split2 node 
node_h1 4 node 3 node_1  =
nodes_10ru split2 node_1  or nodes_01rd split2 node_1 
node_h 3 node_h 4 node_h0  =
node_h split1 nodes_hh 





對偶多面體
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V4.62/63 V34.4 V33 V3.62 V35
node_f1 4 node 3 node  node_f1 4 node_f1 3 node  node 4 node_f1 3 node  node 4 node_f1 3 node_f1  node 4 node 3 node_f1  node_f1 4 node 3 node_f1  node_f1 4 node_f1 3 node_f1  node_fh 4 node_fh 3 node_fh  node_fh 4 node 3 node  node_fh 4 node 3 node_f1  node_fh 3 node_fh 4 node 
node_f1 3 node 3 node_f1  node_f1 3 node_f1 3 node_f1  node 3 node_f1 3 node  node_f1 4 node_fh 3 node_fh  node_f1 3 node 3 node  node 3 node_f1 3 node_f1  node_fh 3 node_fh 3 node_fh 

五角二十四面體圖

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五角二十四面體圖
分布3 (32個)
4 (6個)
頂點38
60
半徑6
直徑7
圍長5
自同構群24
色數3
對偶圖扭棱立方體圖法語Graphe cuboctaédrique adouci
屬性哈密頓平面圖

圖論的數學領域中,與五角二十四面體相關的圖為五角二十四面體圖,是五角二十四面體之邊與頂點的圖英語1-skeleton,同時也是拓樸結構與五角二十四面體等架的圖論物件,由38個節點和60條邊組成[21],是一個哈密頓圖[22]

性質

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五角二十四面體圖有60條邊和38個頂點,其中為3的頂點有32個;為4的頂點有6個。這個圖的直徑是7,半徑是6[22],其中半徑代表圖中所有頂點偏心率的最小值、直徑代表代表圖中所有頂點偏心率的最大值、偏心率為某頂點和離其最遠點的距離[23]。換句話說五角二十四面體圖在不考慮循環路徑下頂點間最大距離只少相距6個頂點,最長距離不超過7個頂點[22]。五角二十四面體圖的圍長為5,即在這個圖內最小的循環路徑為5個頂點[22]


五角二十四面體的平行投影是一種五角二十四面體圖

以類似施萊格爾圖英語schlegel diagram的方式呈現的五角二十四面體圖

五角二十四面體圖的另一種表示法
  • 五角二十四面體圖的特徵多項式[22]

參見

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參考文獻

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  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  1. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)
  2. ^ Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR730208  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 28, Pentagonal icositetrahedron)
  3. ^ 3.0 3.1 Pentagonal Icositetrahedron. polyhedra.org. [2020-08-01]. (原始內容存檔於2008-07-14). 
  4. ^ Promorphology of Crystals I. www.metafysica.nl. [2020-08-03]. (原始內容存檔於2020-08-03). 
  5. ^ Stephen A. Nelson. Crystal Form, Zones, Crystal Habit. 2011-01-11 [2020-08-03]. (原始內容存檔於2013-09-01). 
  6. ^ 五角三八面體;螺旋二十四面體 gyroid. 國家教育研究院. [2020-08-01]. (原始內容存檔於2020-08-24). 
  7. ^ 偏菱五角二十四面體 pentagonal icositetrahedron. 國家教育研究院. [2020-08-01]. (原始內容存檔於2020-08-24). 
  8. ^ 中川宏. 貫入双晶模型の製作 (PDF). [2018-08-30]. (原始內容 (PDF)存檔於2018-08-31). 
  9. ^ Hugo Steinhaus. Mathematical Snapshots (Dover Recreational Math). Dover Publications. 2011年12月28日: pp. 207, 209. ISBN 978-0486409146. 
  10. ^ 10.0 10.1 10.2 Weisstein, Eric W. (編). Pentagonal Icositetrahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  11. ^ Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036 .
  12. ^ 12.0 12.1 12.2 12.3 12.4 Catalan Solids: Pentagonal Icositetrahedron (dextro). dmccooey.com. [2020-08-01]. (原始內容存檔於2020-08-24). 
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 13.3 13.4 Catalan Solids: Pentagonal Icositetrahedron (laevo). dmccooey.com. [2020-08-01]. (原始內容存檔於2020-08-24). 
  14. ^ Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. 1991: p.55. ISBN 9780486268514. LCCN 91020471. 
  15. ^ 15.0 15.1 Pentagonal icositetrahedron. fillygons.ch. [2020-08-01]. (原始內容存檔於2020-08-24). 
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  18. ^ 約翰·史坦布里奇英語John Stembridge. More Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. [2020-08-01]. (原始內容存檔於2017-08-21) (英語). 
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  20. ^ 20.0 20.1 Livio Zefiro, Maria Rosa Ardigo. What Became of the Controversial Fourteenth Archimedean Solid, the Pseudo Rhomb-Cuboctahedron?. Dip.Te.Ris, Universita' di Genova, Italy. [2020-08-24]. (原始內容存檔於2020-07-31). 
  21. ^ Hao, Jianqiang and Gong, Yunzhan and Sun, Jianzhi and Tan, Li. Use the K-Neighborhood Subgraphs to Compute Canonical Labelings of Graphs. Mathematics (Multidisciplinary Digital Publishing Institute). 2019, 7 (8): 690. 
  22. ^ 22.0 22.1 22.2 22.3 22.4 Weisstein, Eric W. (編). Pentagonal Icositetrahedral Graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  23. ^ Chartrand G., Johns G., Oellermann O.R. On Peripheral Vertices in Graphs. Bodendiek R., Henn R. (編). Topics in Combinatorics and Graph Theory. Physica-Verlag HD. 1990. 

外部連結

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