維費里希素數 - 維基百科，自由的百科全書

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若素數 $p^{2}|2^{p-1}-1$ ，則稱為維費里希素數（Wieferich prime）。它最先在1909年阿圖爾·維費里希（Arthur Wieferich）有關費馬大定理的作品描述。

1909年，維費里希證明： $x,y,z$ 是整數同時 $p$ 是質數使得 $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$ ，並且 $p\nmid xyz$ ，那麼 $p$ 就是維費里希素數。

1910年Mirimanoff擴展這個定理，證明了若 $p$ 符合上面的條件， $p|3^{p-1}$ 。

梅森數 $M_{q}=2^{q}-1$ 的質因數 $p$ 是維費里希素數若且唯若 $p^{2}|2^{q}-1$ ，顯然，梅森質數不可能是維費里希素數。

尋找

現時已知的維費里希素數只有1093和3511（OEIS:A001220），由W. Meissner在1913年和N. G. W. H. Beeger在1922年各自發現。若有更大的存在，它必須大於 $1.25\times 10^{15}$ [1]^{[永久失效連結]}。雖然1988年J. H. Silverman證明若abc猜想成立，對於任何正整數 $a>1$ ，存在無限個質數 $p$ 使得 $p^{2}\nmid a^{p-1}-1$ ；但「維費里希素數的數量有限」這個猜想仍未證實。

參見

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閱論編質數類
公式	卡羅爾（ $（2 n －1） 2 －2$ ）費馬質數（ $2 2 n ＋1$ ）梅森質數（ $2 p －1$ ）雙重梅森質數（ $2 2 p －1 －1$ ）瓦格斯塔夫質數 $（2 p ＋1）／3$ 普羅斯質數（ $k \cdot2 n ＋1$ ）階乘質數（ $n ！\pm1$ ）質數階乘質數（ $p n ＃\pm1$ ）歐幾里得數（ $p n ＃＋1$ ）畢達哥拉斯質數（ $4 n ＋1$ ）皮爾龐特質數（ $2 m \cdot3 n ＋1$ ） Quartan質數（ $x 4 ＋ y 4$ ）（英語：Quartan prime）索利納斯質數（ $2 m \pm2 n \pm1$ ）（英語：Solinas prime）卡倫質數（ $n \cdot2 n ＋1$ ）胡道爾質數（ $n \cdot2 n －1$ ）立方質數（ $x 3 － y 3 ）／（ x － y$ ）萊蘭質數（ $x y ＋ y x$ ）塔別脫質數（ $3\cdot2 n －1$ ）威廉斯質數（ $（ b -1）\cdot b n －1$ ）（英語：Williams number）米爾斯質數（［ $A 3 n$ ］） Kynea質數（ $（2 n ＋1） 2 －2$ ）
整數數列	費波納契質數盧卡斯質數佩爾質數 NSW質數佩蘭偽質數
屬性	維費里希質數質數對（英語：Wieferich pair）沃爾-孫-孫質數沃爾斯滕霍爾姆質數（英語：Wolstenholme prime）威爾遜質數幸運質數 Fortunate質數（英語：Fortunate number）拉馬努金質數皮萊質數正則質數強質數斯特恩質數超奇異質數（橢圓曲線）（英語：Supersingular prime (algebraic number theory)）超奇異質數（月光理論）好質數超質數希格斯質數高互補歐拉商數唯一質數
基數相關	迴文質數反質數循環單位質數 $（10 n －1）／9$ 可交換質數環狀質數可截短質數極小質數精緻質數（英語：Delicate prime）原始質數全循環質數唯一質數快樂質數自我質數 Smarandache–Wellin質數 Strobogrammatic質數（英語：Strobogrammatic prime）二面質數四面質數（英語：Tetradic number）
圖形	孿生質數（ $p ， p ＋2$ ）孿生倍鏈（ $n \pm 1，2 n \pm 1，4 n \pm 1，\dots$ ）（英語：Bi-twin chain）三胞胎質數（ $p ， p ＋2 或 p ＋4， p ＋6$ ）四胞胎質數（ $p ， p ＋2， p ＋6， p ＋8$ ）質數k元組（英語：Prime k-tuple）表兄弟質數（ $p ， p ＋4$ ）六質數（ $p ， p ＋6$ ）陳質數索菲·熱爾曼／安全質數（ $p ，2 p ＋1$ ）坎寧安鏈（ $p ，2 p \pm 1，4 p \pm 3，8 p \pm 7，...$ ）（英語：Cunningham chain）等差數列（ $p ＋ a\cdotn ， n ＝0，1，2，3，...$ ）（英語：Primes in arithmetic progression）平衡質數（ $連續的 p － n ， p ， p ＋ n$ ）
數量級	超大質數（1,000,000+以上）（英語：Megaprime）已知最大質數列表（英語：List of largest known primes and probable primes）
複數	艾森斯坦質數高斯質數
合數	偽質數卡塔蘭（英語：Catalan pseudoprime）橢圓（英語：Elliptic pseudoprime）歐拉歐拉-雅可比費馬弗羅貝尼烏斯（英語：Frobenius pseudoprime）盧卡斯（英語：Lucas pseudoprime）佩蘭索默爾–盧卡斯（英語：Somer–Lucas pseudoprime）強卡邁克爾數殆質數半質數楔形數 Interprime 有害數（英語：Pernicious number）
相關	準質數（英語：Probable prime）產業等級質數非法質數質數公式質數間隙 $X 2 ＋1$ 質數質數定理質數計算函數質數測試
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