統計流形

數學中，統計流形是每點都代表一概率分布的黎曼流形，為信息幾何提供了研究對象。費希爾信息度量提供了流形上的度量張量。根據這定義，對數似然函數是可微映射，分數是包含映射。

示例

所有正態分布可視為2維參數空間，參數為期望$\mu$與方差$\sigma ^{2}\geq 0$。由費希爾信息矩陣給出的黎曼度量可得統計流形，其幾何模型是雙曲幾何。通過費希爾信息推斷參數方程而非從似然函數出發，是繪製流形的一種方法。

統計流形的簡單例子是物理學中的正則系綜：是1維流形，溫度T是坐標。對任何常溫T，都有概率空間：因此對原子氣體而言，它就是原子速度的概率分布，會隨T的變化而變化。

另一個簡單例子來自醫學，即病人治癒概率分布與給藥量的關係。在固定劑量下，有些病人的病情有所改善，有些則沒有，這就是基本概率空間。若改變劑量，結果概率也會變化，因此劑量就是流形上的坐標。要成為微分流形，就要根據劑量的任意微小變化測量結果，這並不實際可行，除非已有了劑量-反映數學模型，其中劑量可以任意變化。

定義

令X為可定向流形，使$(X,\Sigma ,\mu )$為X上的測度。等價地，令$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$為關於$\Omega =X$的概率空間，其中σ-代數${\mathcal {F}}=\Sigma$與概率$P=\mu$。

X的統計流形S(X)定義為X上所有測度$\mu$（σ-代數$\Sigma$不變）。注意這空間是無窮維的，通常認為是弗雷歇空間。S(X)的點都是測度。

與其處理無窮維空間S(X)，不如處理有限維子流形，由一組由光滑、連續變化的參數$\theta$參數化的概率分布給出定義即可。也就是說，只考慮由參數選擇的測度。若參數$\theta$是n維的，那麼子流形一般也是n維。所有有限維統計流形都可這樣理解。

另見

• 琴佐夫定理