凸函數

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在區間上的凸函數

凸函數是一個定義在某個向量空間凸子集區間)上的實值函數,如果在其定義域上的任意兩點,以及,有

也就是說,一個函數是凸的當且僅當上境圖(在函數圖像上方的點集)為一個凸集

如果對於任意的

,函數嚴格凸的。

若對於任意的,其中,都有,則稱函數幾乎凸的。

性質[編輯]

函數(藍色)是凸的,當且僅當其上方的區域(綠色)是一個凸集

定義在某個開區間C內的凸函數fC連續,且在除可數個點之外的所有點可微。如果C是閉區間,那麼f有可能在C的端點不連續。

一元可微函數在某個區間上是凸的,當且僅當它的導數在該區間上單調不減

一元連續可微函數在區間上是凸的,當且僅當函數位於所有它的切線的上方:對於區間內的所有xy,都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (yx)。特別地,如果f '(c) = 0,那麼cf(x)的最小值

一元二階可微的函數在區間上是凸的,當且僅當它的二階導數是非負的;這可以用來判斷某個函數是不是凸函數。如果它的二階導數是正數,那麼函數就是嚴格凸的,但反過來不成立。例如,f(x) = x4的二階導數是f "(x) = 12 x2,當x = 0時為零,但x4是嚴格凸的。

更一般地,多元二次可微的連續函數在凸集上是凸的,當且僅當它的黑塞矩陣在凸集的內部是半正定的。

凸函數的任何極小值也是最小值。嚴格凸函數最多有一個最小值。

對於凸函數f水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}(aR)是凸集。然而,水平子集是凸集的函數不一定是凸函數;這樣的函數稱為擬凸函數

延森不等式對於每一個凸函數f都成立。如果是一個隨機變量,在f的定義域內取值,那麼(在這裏,表示數學期望。)

注意:中國大陸數學界某些機構關於函數凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函數。Concave Function指凸函數。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中,凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的,也就是和數學教材是反的。舉個例子,同濟大學高等數學教材對函數的凹凸性定義與本條目相反,本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集,而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集,兩者定義正好相反。 另外,也有些教材會把凸定義為上凸,凹定義為下凸。碰到的時候應該以教材中的那些定義為準。

凸函數的初等運算[編輯]

  • 如果是凸函數,那麼也是凸函數。
  • 如果是凸函數,且遞增,那麼是凸函數。
  • 凸性在仿射映射下不變:也就是說,如果是凸函數(),那麼也是凸函數,其中
  • 如果內是凸函數,且是一個凸的非空集,那麼內是凸函數,只要對於某個,有

例子[編輯]

  • 函數處處有,因此f是一個(嚴格的)凸函數。
  • 絕對值函數是凸函數,雖然它在點x = 0沒有導數。
  • 當1 ≤ p時,函數是凸函數。
  • 定義域為[0,1]的函數f,定義為f(0)=f(1)=1,當0<x<1時f(x)=0,是凸函數;它在開區間(0,1)內連續,但在0和1不連續。
  • 函數x3的二階導數為6x,因此它在x ≥ 0的集合上是凸函數,在x ≤ 0的集合上是凹函數
  • 每一個在內取值的線性變換都是凸函數,但不是嚴格凸函數,因為如果f是線性函數,那麼。如果我們把「凸」換為「凹」,那麼該命題也成立。
  • 每一個在內取值的仿射變換,也就是說,每一個形如的函數,既是凸函數又是凹函數。
  • 每一個範數都是凸函數,這是由於三角不等式
  • 如果是凸函數,那麼當時,是凸函數。
  • 單調遞增但非凸的函數包括
  • 非單調遞增的凸函數包括
  • 函數f(x) = 1/x2f(0)=+∞,在區間(0,+∞)內是凸函數,在區間(-∞,0)內也是凸函數,但是在區間(-∞,+∞)內不是凸函數,這是由於x = 0處的奇點。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

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  • Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd. 1961. 
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