P進數分析

$p$ 進數分析是研究變量為 $p$ 進數的函數之分析性質的數學分支，屬於數論研究中的領域。

簡介

$p$ 進數域是有理數域裝備了與歐幾里德範數不同的 $p$ 進範數後進行拓撲完備化得到的完備數域，一般記作 $\mathbb {Q} _{p}$ 。同樣是有理數域的完備化， $\mathbb {Q} _{p}$ 與實數域 $\mathbb {R}$ 有許多差異之處。然而，同樣可以對自變量取自 $\mathbb {Q} _{p}$ 中或值域在 $\mathbb {Q} _{p}$ 中的函數定義極限、微分、積分等概念，從而建立類似於實分析的分析學。定義在 $\mathbb {Q} _{p}$ 上的復值函數是局部緊群理論的研究對象。而通常意義上的 $p$ 進分析也指研究取值在 $\mathbb {Q} _{p}$ 上的函數之分析性質的理論。

$p$ 進數分析主要應用在數論中。在丟番圖幾何與丟番圖逼近理論中， $p$ 進數分析有重要作用。有些應用甚至需要涉及到基於 $p$ 進數的泛函分析和譜理論。 $p$ 進數分析在某些意義上較傳統的實分析或複分析更為「簡單」。這是因為 $p$ 進數域的拓撲對應的是超度量而不是阿基米德度量。超度量對應的「三角不等式」相較阿基米德度量的三角不等式更強，因此能夠導出更強的結論。例如在級數論中， $p$ 進數項構成的無窮級數的收斂條件比實數項或複數項無窮級數的更簡單。基於同樣的原因， $p$ 進數域上的拓撲向量空間與實數域或複數域上的拓撲向量空間不同。例如前者中與凸性相關的性質以及哈恩－巴拿赫定理都不同於後者中的對應性質與定理。

數列與級數

$\mathbb {Q} _{p}$ 上的拓撲建立在 $p$ 進範數 $|\cdot |_{p}$ 上。 $|\cdot |_{p}$ 是一個超度量（也稱為非阿基米德度量）的範數。它不僅滿足三角不等式，而且滿足更強的關係：

|x+y|_{p}\leqslant \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}.

因此，在 $\mathbb {Q} _{p}$ 中，數列和無窮級數的收斂條件較實數中更寬鬆。一個數列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是柯西數列若且唯若 $x n +1 - x n$ 趨於0。因此數列有極限等價於說其相鄰項之差趨於0^[1]^:88。無窮級數 $\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$ 的相鄰兩個部分和的差就是級數的通項 $a n$ ，所以無窮級數收斂若且唯若其通項趨於0^[1]^:89。

$\mathbb {Z} _{p}$ 上的函數

$\mathbb {Z} _{p}$ 表示所有 $p$ 進整數，即在 $p$ 進範數小於等於1的 $p$ 進數的集合。由於 $\mathbb {Q} _{p}$ 是完全不連通的空間，不具有與實數中「區間」對應的研究對象，因此較常作為研究基礎的是其中的球^[1]^:92。 $\mathbb {Z} _{p}$ 是一個緊緻的球。與 $\mathbb {Q} _{p}$ 中的任何球一樣， $\mathbb {Z} _{p}$ 是開集也是閉集。由 $\mathbb {Q} _{p}$ 的超度量特性可以推出， $\mathbb {Q} _{p}$ 可以劃分為形同 $x+\mathbb {Z} _{p}$ 的球的不交併集，其中的 $x$ 是 $\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ 即 $\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]/\mathbb {Z}$ 的代表元素。因此要研究 $\mathbb {Q} _{p}$ 上的函數，可以轉化為研究 $\mathbb {Z} _{p}$ 上的函數^[2]^:160。

連續函數

$\mathbb {Z} _{p}$ 上的連續函數定義與實數中的定義一致。適用於所有度量空間的連續性基本性質在 $\mathbb {Z} _{p}$ 上也適用，例如在緊集上處處連續的函數絕對連續^[1]^:93。

在實分析與複分析中，魏爾斯特拉斯逼近定理說明了，閉區間上的實值或復值連續函數能夠被多項式函數一致逼近，然而統一而具體的逼近多項式函數是不存在的^[2]^:160。在 $p$ 進數分析中，馬勒定理說明了 $\mathbb {Z} _{p}$ 上的連續函數（取值在 $\mathbb {Q} _{p}$ 或 $\mathbb {C} _{p}$ 上）能夠被多項式函數一致逼近，而且這些多項式函數有統一的顯式表達（其係數都是只和函數本身相關的常數）^[2]^:173。范德普特定理說明， $\mathbb {Z} _{p}$ 上的連續函數都能夠被 $\mathbb {Z} _{p}$ 上的球指示函數（即只在球 $i+p^{j}\mathbb {Z} _{p}$ 上取值為1，其餘時候取值為0的函數）的線性組合一致逼近，而且給出了具體的係數^[2]^:182-183。

導數

$\mathbb {Z} _{p}$ 上的函數也可以定義導數，就像實分析中一樣：給定開集 $U$ ，考察函數 $f:\;U\rightarrow \mathbb {Q} _{p}$ 。對 $U$ 中一點 $x$ ，如果極限：

f'(x):=\,\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

存在，就稱函數 $f$ 在點 $x$ 可導，導數為上述極限 $f '$ ( $x$ )。這樣定義的導數和導函數與它們在實分析中對應的對象擁有某些共同點。比如可導的函數總是連續函數。不過，由於「區間」概念的缺失， $\mathbb {Q} _{p}$ 上無法建立對應於實分析中中值定理的結論。沒有「中值定理」，「傳統的」導數在 $p$ 進分析中無法擁有很多在實分析中有重要價值的性質。比如，存在一個處處可導，導函數恆等於零的函數，它自身並不是常數函數^[1]^:93-94。

參見

參考來源

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Fernando Q. Gouvêa. p-adic Numbers : An Introduction 2nd. Springer. 2000. ISBN 3-540-62911-4 （英語）.
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Robert, Alain M. A Course in p-adic Analysis. Springer. 2000. ISBN 0-387-98669-3 （英語）.

[fqg-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Fernando Q. Gouvêa. p-adic Numbers : An Introduction 2nd. Springer. 2000. ISBN 3-540-62911-4 （英語）.

[gtm198-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Robert, Alain M. A Course in p-adic Analysis. Springer. 2000. ISBN 0-387-98669-3 （英語）.

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[2]

簡介

數列與級數

Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 上的函數

連續函數

導數

參見

參考來源

$\mathbb {Z} _{p}$ 上的函數