2個相互獨立的標準布朗橋
標準布朗橋(英語:Brownian bridge)是概率論中常見的一個研究對象。 它是一種連續時間上的隨機過程, 在0和1處取值為0.
注意不要和布朗運動混淆。
布朗橋有時又被稱為綁在0和1處的布朗運動(此處僅為意譯)。
非標準的 布朗橋 只是在條件
下一般化的布朗橋。
标准的布朗桥
为一个连续时间上的 随机过程 ,它的分布为在条件
下的维纳过程 (Wiener Process)。
它首先是一個高斯過程, 也就是說隨機向量
在條件
下服從高斯分佈。所以它可以由期望和協方差來刻畫:
![{\displaystyle \forall 0\leq t\leq 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {E} [B_{t}|B_{1}=0]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e788c8acbd8b5d7497d4ee76500f7783cd275a)
![{\displaystyle \forall 0\leq s<t\leq 1,\,\,cov(B_{s},B_{t}|B_{1}=0)=s(1-t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd74724373283b385bbfd420b8e5bd9f82c55ff)
定義的備註
事件
的概率為0。 考慮滿足
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\mathbb {P} [|B_{1}|<\varepsilon ]>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bc208c5af0729bc565ecc9311d9b57a3737613)
的事件
,
我們可以考察條件分佈
。 由依分佈收斂 可得:
![{\displaystyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|=0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e992ae9e7575427575acf99626435b1bf037a339)
這給出了布朗橋的一個嚴格定義。
性質1
設
為一個 維納過程 (或者 布朗運動), 那麼過程
:
![{\displaystyle \displaystyle B_{t}=W_{t}-tW_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ced2a8f5995092a5f7ff88df8596178ce9c12e)
為一個標準的布朗橋。
相互定義
設
為一個標準的布朗橋, Z 是一個正態隨機變量,則過程
et
:
et ![{\displaystyle W_{t}^{2}=B_{\frac {t}{T}}+{\frac {t}{T}}Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643abaf1dbe8532bd17b87ffb4af29ed7320c282)
為
和
上的維納過程。
性質 2
設
為一個 維納過程, 則過程
:
![{\displaystyle B_{t}=(1-t)W_{\frac {t}{1-t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d485f7dc350217324a277be485a7f6916f5ec6)
為一個標準布朗橋。
相互定義
設
為一個標準的布朗橋, 那麼過程
:
![{\displaystyle W_{t}=(1+t)B_{\frac {t}{1+t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a3fd0e6b38f31faac36d5f132d5670769dc94d)
為一個維納過程。
也可以認為布朗橋是一種擴散過程。 事實上, 如果
是一種標準的布朗橋,隨機方程
![{\displaystyle dX_{t}=dW_{t}-{\frac {X_{t}}{1-t}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836004d6f75ba8b223cdf79a6fbccb16c8c14a14)
初始條件
的解和布朗橋同分佈。
事實上,
是一個 馬氏過程,這個從布朗橋的定義中不容易看出。
設
為標準的布朗橋。
性質3
設 b 為一個實數,
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[{\hbox{ there is a }}t\in [0,1]{\hbox{ s.t. }}B_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f8566322a28649bbff37f50d74ec3993a8e9ba)
性質4
設 b 為一個正實數
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}|B_{t}|\geq b\right]=2\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a22ca0d455dae988eb813b31540a8d31105c2c)
性質 5
設a et b 為2個正實數.
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[-a<B_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d505db123f4470e044b901d00b80fe63a60873c)
性質6
設 x 為一個正實數
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}B_{t}-\inf _{t\in [0,1]}B_{t}\geq x\right]=2\sum _{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4860b51e977d52fbd29d34c2afa84f0dd8f34714)