2个相互独立的标准布朗桥
标准布朗桥（英語：Brownian bridge）是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程， 在0和1处取值为0.
注意不要和布朗运动混淆。
布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。
非标准的 布朗桥 只是在条件 ![{\displaystyle \scriptstyle [B_{t_{1}}=a,B_{t_{2}}=b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997164d4d6babe2a4f352ab6560e5a419685edc4)
下一般化的布朗桥。
标准的布朗桥 
为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件
下的维纳过程 （Wiener Process）。
它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 
在条件 
下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画：
![{\displaystyle \forall 0\leq t\leq 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {E} [B_{t}|B_{1}=0]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e788c8acbd8b5d7497d4ee76500f7783cd275a)
定义的备注
事件![{\displaystyle \scriptstyle [B_{1}=0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5aa163fad8207082350af6c45c7dc7cae101224)
的概率为0。 考虑满足
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\mathbb {P} [|B_{1}|<\varepsilon ]>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bc208c5af0729bc565ecc9311d9b57a3737613)
的事件 ![{\displaystyle \scriptstyle [|B_{1}|<\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dfee445d30d0a92195ec2753109254e0bf49d3)
，
我们可以考察条件分布 ![{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bdc970343568646dbd34c7e4759bfd1c04b098)
。 由依分布收敛 可得：
![{\displaystyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|=0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e992ae9e7575427575acf99626435b1bf037a339)
这给出了布朗桥的一个严格定义。
性质1
设
为一个 维纳过程 (或者 布朗运动), 那么过程 
:
为一个标准的布朗桥。
相互定义
设 为一个标准的布朗桥， Z 是一个正态随机变量，则过程 
et 
:
et 
为 ![{\displaystyle \scriptstyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a574ac8ce58b71ecb4c1c338f1688df55388fab)
和 ![{\displaystyle \scriptstyle t\in [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f83452a1164b7bf25e6516c4fd245e08ab41a1)
上的维纳过程。
性质 2
设 为一个 维纳过程, 则过程 ：
为一个标准布朗桥。
相互定义
设 为一个标准的布朗桥, 那么过程 ：
为一个维纳过程。
也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上， 如果 
是一种标准的布朗桥，随机方程
初始条件
的解和布朗桥同分布。
事实上, 
是一个 马氏过程，这个从布朗桥的定义中不容易看出。
设 为标准的布朗桥。
性质3
设 b 为一个实数，
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[{\hbox{ there is a }}t\in [0,1]{\hbox{ s.t. }}B_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f8566322a28649bbff37f50d74ec3993a8e9ba)
性质4
设 b 为一个正实数
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}|B_{t}|\geq b\right]=2\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a22ca0d455dae988eb813b31540a8d31105c2c)
性质 5
设a et b 为2个正实数.
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[-a<B_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d505db123f4470e044b901d00b80fe63a60873c)
性质6
设 x 为一个正实数
![{\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}B_{t}-\inf _{t\in [0,1]}B_{t}\geq x\right]=2\sum _{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4860b51e977d52fbd29d34c2afa84f0dd8f34714)
